线变换简单质教学讲义

设是数域P上线性空间V的一个线性变换，

则称为的一个特征值，称为的属于特征值一、特征值与特征向量

定义：若对于P中的一个数存在一个V的非零向量使得的特征向量.

①几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，注：相同或相反时②若是的属于特征值的特征向量，则也是的属于的特征向量.但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若且，则

若都是的属于特征值的特征向量，也是的属于的特征向量.则设是V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为A.

下的坐标记为二、特征值与特征向量的求法

分析：设是的特征值，它的一个特征向量在基则在基下的坐标为而在基下的坐标是于是又从而

又即是线性方程组的解，以上分析说明：所以它的系数行列式

从而有非零解.

若是的特征值，则反之，若满足则齐次线性方程组有非零解.

若是一个非零解，特征向量.则向量就是的属于的一个设是一个文字，矩阵称为称为A的特征多项式.1.特征多项式的定义A的特征矩阵，它的行列式

（是数域P上的一个n次多项式）

矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：而相应的线性方程组的非零解也就称为A的属于这个特征值的特征向量.

i)在V中任取一组基写出在这组基下就是的全部特征值.ii)求A的特征多项式在P上的全部根它们2.求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵A.iii)把所求得的特征值逐个代入方程组并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量在基下的坐标.)

则就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量.

而（其中，不全为零）

就是的属于的全部特征向量.如果特征值对应方程组的基础解系为：对皆有所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是故数乘变换K的特征值只有数k，且解：A的特征多项式

例2.设线性变换在基下的矩阵是求特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）

把代入齐次方程组得

即

它的一个基础解系为：

因此，属于的两个线性无关的特征向量为而属于的全部特征向量为不全为零

因此，属于5的一个线性无关的特征向量为

把代入齐次方程组得

解得它的一个基础解系为：

而属于5的全部特征向量为

例3

证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则(1)是的特征值(m是任意正整数).(3)当A可逆时，是的特征值(2)若为数域P上的多项式，则为特征值.已知3阶方阵A的特征值为：1、－1、2，例4求矩阵的特征值及的特征值.例5设4阶方阵A满足条件求的一个特征值.三、特征子空间

定义：再添上零向量所成的集合，即设为n维线性空间V的线性变换，为的一个特征值，令为的属于的全部特征向量则是V的一个子空间,称之为的一个特征子空间.注：的解空间的维数，且以方程组(*)

的基础解系为坐标的若在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则即特征子空间的维数等于齐次线性方程组(*)全部线性无关的特征向量就是的一组基.四、特征多项式的有关性质1.设则A的特征多项式由多项式根与系数的关系还可得

②A的全体特征值的积＝①A的全体特征值的和＝称之为A的迹,记作trA.注：②有相同特征多项式的矩阵未必相似.它们的特征多项式都是，但A、B不相似.多项式.因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换的特征①由定理6线性变换的特征值与基的选择无关.如

2.(定理6)相似矩阵具有相同的特征多项式.求x

例已知矩阵A与B相似，其中设为A的特征多项式,则证:

设是的伴随矩阵，则3.哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理都是λ的多项式，且其次数不超过n－1.又的元素是的各个代数余子式，它们因此，可写成零矩阵其中，都是的数字矩阵.再设则，①而②比较①、②两式，得③以依次右乘③的第一式、第二式、…、第n式、第n＋1式，得④把④的n＋1个式子加起来，即得4.设为有限维线性空间V的线性变换，是的特征多项式，则零变换练习1：已知为A的一个特征值，则（1）必有一个特征值为