高数上复习-2.2-5极限存在准则

第2.2.5节极限存在准则准一、极限存在

单调有界准limsinx二、两个重要

1lim(1x

)xx

存在准则 准定理(数列极限 准则①ynxnzn(n1,2,)limxn②limynlimzn n

n∵limnn

,nN1时有yna

aynaPreviousNext∵limn

a,nn

N

,当nN2时有zna

即azna取Nmax{N1,N2}, 当nN时，有aynxnzna即xnalimxnnPreviousNext注准则中的第一个条件NN,nN时，ynxn♣数列极限 准则可以推广到函数的极限定理(函数极限 准则ˆx0,0)上g(x)fxh(x)②limg(x)A,limh(x)②x xlimf(x)PreviousNext证明∵limgxx

0, 当0|xx0|1AgxA

g(x)

∵limh(x)x

对上述0,

当0|xx0|2有AhxA

h(x)

PreviousNext当0|xx0|0gxfxhx)min{0,1,2},0|xx0|时,有Agx)fxhxA即fxAlimfxx注利 准则求极限，关键是构造出yn,gx),hx),并且易求极限，且极限相等PreviousNext例证明lim

n22

nπ 证利 准则

n2nπ

n

π

n22

"

n2nπ

n2 且

nnn nnlim

n2

n22

nπ PreviousNext例

limn12n3n100n解利 准则n100n

n12n3n

n100limn100nn

limn100100nnlimn12n3n100nPreviousNext1例计算lim1x2x3xxx解利 准则1

3(3x) (1x2x3x)x(33x)x331且lim33 1 lim(1x2x3x) xPreviousNext准则2单调有界如果数列xn满x1x2xnxn1x1x2xnxn1

单调减

单调直观解释xn}n时有(i)xn/ (ii)xn而|xn|M,xnPreviousNext几何解 x3xnxn1 同理，单调减少有下界数列必有PreviousNext定理若函数f(x是ab)区间内的单调有界函数则极限 f(x)与 f(x)都存在xa xb注对区间,b),(a,,)也成π2yπ2yxyyyyy1xOx

x x,y

x,y

,222x,y2PreviousNext3例已知x1 3,xn3

,n1,2,3,证明数列xn}收敛，并求它的极限 (i)xn1xn

33333xn3xn1xnxnxn1符号相从而

xn与x2x1符号相同 xn1xn,故xn}是单调递增的PreviousNext33(ii)∵33

3假设xk xk3则xn}是有上界的

由单调有界原则知lim

存在，设limxnn nn33

,limx

lim(3x

n

A23AA

1 2

,A

1 2

(舍去lim 1

PreviousNext二、两个重要极 B1重要极限1.limsinx 1

证明x0不妨

(0,π2设单位圆O，圆心角AOBx(0xπ)2作单位圆的切线AC，扇形OAB的圆心角为因 SAO S扇 S BDsin ACtanPreviousNext1sinx1x1tan 所以sinxxtan

x

(0,π2当πx0时，有sin(x(xtan(x2即当0|x|π时，有sinx xtan2即cosx

cosxsinxx由limcosx1 准则得limsinx

PreviousNext注变形 凑形式limsin, (0x0sinlimsin3x

计

. 解limsin3xlim3sin3xu lim3sinux

x 3

(可省略

limtanx 解limtanxlimsinx 11x

x

cos

PreviousNext例

limsin2x.(0x0tan5 解limsin2xlimsin2x2xcos5x 5 x0tan5 2 5 sin5 例limarcsinx0) 解令tarcsinx,则xsin 因limarcsinx t0sinPreviousNextlim1cosx

x2 (0cos

2sin2

x sin2 x0 u2

sinu 2 (可省略

Previous 例

sin(x21)x

(00sin(x21)

sin(x2

x2

x

x2

x sin(x2

x2

x2

x22

1)ux2

sinu

x

22

x1lim(x1)(x1)

x x

PreviousNextsin例计算limx2 x sin sin limx2 x xsin sin x0sin (重要极限+有界函数与无穷小乘积为无穷小 limxsin x0sin

区分limxsin1 和limsinx x limsinx

limxsin1x

PreviousNext例 例 limlim

xcosx

x x0 n

2n ( (极解当x0的过程中x0,由半角公式 解号cosxcosxcos 交 交换) cosxcosxcosxsinx)

xcos2cos22

PreviousNext

xcos2cos22

22

xcos2cos22

sin2nsin sin

limsinx

sinx

2n

sin

xcosxlimsinxlimlim

2n

x0n

PreviousNext重要极限2.lim(11)xx 证明思路(1利用lim(11)nn 利 准则证lim(11)x 令x(t1),lim(11)x

PreviousNext(1说明数列单增有上界.利用二项式xn(1

1)nnnn

1CknnCk

Ck

k!(nkk n1 n1n(n1)1n(n1)(n2)n

n(n1)(nn1) 111(11)1(11)(12 1(11)(12)(1n PreviousNext 111(11)1(11)(12 2! 3! 1(11)(12)(1n 111(1

)1(1

n 3! n n 1(1 )(1n n n n (1 )(1 )(1 (n n n n正比较得xnxn1(n1,2, (单增PreviousNext 111(11)1(11)(12 1(11)(12)(1n 又 (11)n1111 1111 1

11212

3

1

(有上界根据单调有界准则知limxn存在记此elim(11)n

e2.71828

Previousx1,nZ,nxn则有(1

n

)n(11)x(11 且当x时，nlim(1

)nlim(1

)n1(1

)1

n

n nlim(11 lim(11)n(11) 准则知，lim(11)x Previous 令x(t 当x，tlim(11)xlim(1

)(t1)

)(t

t

t

tlim(t1)(t1)lim(11)t(1 t

t 由(2和(3

lim(11)xx 注若令t1 得重要极限2.的另一种形x 1 lim1 lim1t x x t

Previous 注重要极限2.的两种 1xlim1 e,x x

1lim1xx 1

凑形式 1;加号;倒1lim1 1 1 lim1 Previous 1例计算lim(12x)x (1

(换元过程省略 12

12解lim(12x) lim(12x)2x

lim(1

2x)2

e2 例计算lim(11)x (1

lim11)xlim11)

lim(1 )x

Previous 例

lim(1x)3x.(1x 1 解

)3xlim(1

)x3

1)x

e3x

x

例已知lim(12)kn

k(1 lim(12)knlim(1

2)2

2n2klim(1 )2

k32

n

PreviousNextx例lim52xx2xx2

x lim52xxxx2