辽宁省鞍山市铁东区华育外国语实验学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

2022-2023学年辽宁省鞍ft市铁东区华育外国语实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷考试注意事项：1管理；2任何理由离开考场；3答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（每题3分，共24分）如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）B．C． D．下列各式中是x的二次函数的是（ ）y＝3x

B．y＝x2+（3﹣x）xD．y＝ax2+bx+c如图，在中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝6，则BC的长为（ ）A．10 B．15 C．18 D．16把方程3x2+x＝2（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）A．3，1，4 B．3，﹣1，4 C．3，﹣1，﹣4 5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）B． C． D．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（ ）A．1+x2＝91C．1+x+x2＝91

B．（1+x）2＝91D．1+（1+x）+（1+x）2＝91如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合，若点A的对应点是点C，则这个旋转中心的坐标为（ ）A．（5，2）C．（4，2）

B．（1，5）D．（1，5）或（4，2）在同一直角坐标系中，当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）B．C． D．二、填空题（每题3分，共24分）在平面直角坐标系中，点与点B关于原点对称，则点B的坐标为 ．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为 ．11．已知点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y＝﹣2x2，则y1，y2，y3的大小关系是（用“＜”连接）．如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，若AE＝1， ＝ ．如果关于x的一元二次方程3倍，则的值为．xOyP的坐标为xyPB的坐标是．y＝﹣x2，给出下列说法：①物线开口向下，顶点是原点；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③当﹣1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣1；④若（m，p）、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n＝0．其中正确的说法有．ABCDACBDOEBCDEACF，把线段DFDDG，连接AGFGM为线FGAMOMBG，下列结论正确的有．①FA2+FC2＝FG2②AM＝BG③ ＝④三、解答题：（17题8分，18题8分，19题一-24题各10分，25题12分，26题14分）17．（8分）解下列方程：（1）2x2+8x+3＝0（配方法）；（2）3t2﹣ t﹣3＝0．18．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图：画出△ABCOO90°得到△A2B2C2．BCPACBDBD的长．1 xx2+（2k+1）x+k2+1＝0x，x1 k的取值范围．1 2 1 2 1 x，x满足|+|x|＝x•xk1 2 1 2 1 ABCD中，EBCF．求证：△ABE∽△DFA；AB＝9，BC＝6EF的长．30cm12cm的矩形铁皮．如图1制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为．由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．Rt△ABC中，∠ABC＝90DACDBBDBCEDBGG．求证：EB2＝EG•EA；CG，若∠CGE＝∠DBC“南国梨”素有“梨中之王”美称，主产于中国辽宁省的鞍ft，2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率．8元/400千克，售0.5106元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过17元/2400/千克？25．（12分）BC上一动点（B、C重合），AEAEAAFMNBC，EF的中点．1，若∠BAC＝120EBC

＝ BE与MN相交所成的锐角的度数为 度．2，若∠BAC＝120EBC边上任意一点时（BC重合），两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．若点E在直线BC上运动， ＝，若其它条件不变，点C作CP∥MN，交直线EF于P，直接写出P到BC的距离 ．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3xAB两点，抛物线y＝ax2经过AB的中点D．直接写出抛物线解析式；ABM如图1，在直线AB上方，y轴右侧的抛物线上是否存在一点使S ABM若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．如图2，点COB中点，连接CD，点PABCPBxBP的长．一、选择题（324分）

参考答案如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）B．C． D．能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可．解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．下列各式中是x的二次函数的是（ ）y＝3x

B．y＝x2+（3﹣x）xD．y＝ax2+bx+c【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．解：A．yxB．y＝x2+（3﹣x）x＝x2+3x﹣x2＝3x，yx的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；Da＝0时，yxy＝ax2+bx+c（a、c的函数，叫二次函数．如图，在中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝6，则BC的长为（ ）A．10 B．15 C．18 D．16【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得解：∵AD＝2，BD＝3，∴AB＝5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

，即可求解．∴ ，∴ ，∴BC＝15，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．4．把方程3x2+x＝2（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ A．3，1，4 B．3，﹣1，4 C．3，﹣1，﹣4 D．3，4，﹣1【分析】将原方程转化为一般形式，进而可得出a，b，c的值．解：将原方程转化为一般形式为3x2﹣x+4＝0，∴a＝3，b＝﹣1，c＝4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握将给定一元二次方程转化为一般形式的方法是解题的关键．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．解：A．∵AB∥CD∥EF，∴ ＝ ≠ ，故本选项不符合题意；∵AB∥CD∥EF，∴ ＝ ，故本选项不符合题意；∵AB∥CD∥EF，∴ ＝ ，故本选项不符合题意；∵AB∥CD∥EF，∴ ＝ 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（ ）A．1+x2＝91C．1+x+x2＝91

B．（1+x）2＝91D．1+（1+x）+（1+x）2＝91+小分支＝91解：由题意可得，1+x+x•x＝1+x+x2＝91．故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合，若点A的对应点是点C，则这个旋转中心的坐标为（ ）A．（5，2）C．（4，2）

B．（1，5）D．（1，5）或（4，2）【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为（4，2）．故选：C．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．在同一直角坐标系中，当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）B．C． D．ab＞0y＝ax2y＝ax+b的图象所在的象限，本题得以解决．解：∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，时，函数y＝ax2的图象开口向上，顶点在原点，函数y＝ax+b、B错误，不符合题意；时，函数y＝ax2的图象开口向下，顶点在原点，函数y＝ax+bCD正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．二、填空题（每题3分，共24分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为 （2，﹣1）．【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．解：在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为 ﹣2 ．【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得m+n＝4，mn＝﹣2，所以原式＝ ＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的1 2 1两根时，x+x＝﹣，xx1 2 1大小关系是 y1＜y3＜y2 （用“＜”连接）．【分析】先分别计算出自变量为﹣3、﹣1和2所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．x＝﹣3x＝﹣1时，y2＝﹣2x2＝﹣2；x＝2y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，若AE＝1， ＝ ．，利用勾股定理求出BC＝4似三角形的性质，即可求出结果．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∵AB＝3，AC＝5，∴BC＝∵AD∥BC，

＝4，∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，∴△EAF∽△BCF，∴ ＝ ，故答案为： ．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为一个根的3倍，则 的值为 2或18 ．【分析】利用一元二次方程的定义及因式分解法解一元二次方程，可求出方程的两根结合其中一个根为另一个根的3倍，即可求出 的值．解：∵关于x的一元二次方程（x﹣3）（mx﹣n）＝0有两个实数根，∴m≠0x1＝3，x2＝3是的3倍时，3＝3×，∴＝1，∴ ＝2；当是3的3倍时，＝3×3，∴ ＝2×3×3＝18．∴ 218．故答案为：2或18．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及一元二次方程的定义，利用因式分解法求出原方程的两个根是解题的关键．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为一条直角边与x轴的正半轴交于点另一直角边与y轴交于点三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当为等腰三角形时，则点B的坐标是 4﹣2 ）．【分析】分三种情况当OA＝AP时，由已知可得B（0，2）；②当AP＝OP时，B与O重合，即B（0，0）；③当OP＝OA＝2 时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，证明可得4﹣2 ，故B（0，4﹣2 ）．解：①当OA＝AP时，如图：∵P的坐标为（2，2），∴此时A（2，0），∵∠APB＝90°，∴B（0，2）；②当AP＝OP时，如图：

﹣2，即有OB＝NO﹣BN＝∵P的坐标为（2，2），∴∠POA＝∠PAO＝45°，∴∠P＝90°，∴此时B与O重合，即B（0，0）；③当OP＝OA＝2 时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，如图：∵∠APB＝90°，∴∠NPB＝90°﹣∠BPM＝∠MPA，∵NP＝MP＝2，∠PNB＝∠PMA，∴△PNB≌△PMA（ASA），∴BN＝AM＝2 ﹣2，∴B（0，4﹣2 ），

﹣2）＝4﹣2 ，综上所述，点B的坐标是或（0，0）或）．【点评】本题考查平面直角坐标系中的旋转，解题的关键是分类画出图形，讨论得到答案．y＝﹣x2，给出下列说法：①物线开口向下，顶点是原点；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③当﹣1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣1；④若（m，p）、（n，p）是该抛物线上两点，则其中正确的说法有 ①②④．【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，可得出答案．解：∵y＝﹣x2，∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；②抛物线开口向下，对称轴为x＝0，当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；③当﹣1＜x＜2时，﹣4＜y≤0，故③错误；④若（m，p）、（n，p）是该抛物线上两点，可知这两点关于y轴对称，所以m+n＝0，故④正确．所以正确的有①②④，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．ABCDACBDOEBCDEACF，把线段DFDDG，连接AGFGM为线FGAMOMBG，下列结论正确的有①③④．①FA2+FC2＝FG2②AM＝BG③ ＝④【分析】由四边形ABCD是正方形，得AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，则∠DCA＝∠DAC＝45°，由旋转得DG＝DF，∠GDF＝90ADG＝∠CDF，即可证明△ADG≌△CDF，得AG＝CF，∠DAG＝∠DCF＝45°，则∠FAG＝90°，所以FA2+FC2＝FA2+AG2＝FG2，可判断①正确；作GI⊥AB交BA的延长线于点I，设AB＝AD＝BC＝DC＝2m，则BE＝CE＝BC＝m，由勾股定理得DE＝

mA＝2 m则OOO＝ m再证明CEF∽AD，得 ＝

＝则AG＝CF＝AC＝ DE＝

DF＝ m，再求得BG＝ m，由∠FAG＝90°，点M为线段FG的中点，得AM＝FM＝GM＝FGAM≠BG错误；因为OF＝ m﹣ m＝ m，所以 ＝，可判正确；MH⊥OADM＝AM＝DOM＝∠AOM＝∠AOD＝45°，根据三角形的中位线定理求得HM＝AG＝ 则OM＝ HM＝m，所以 ＝，可判④正确，于是得到问题的答案．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，由旋转得DG＝DF，∠GDF＝90°，∴∠ADG＝∠CDF＝90°﹣∠ADE，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴AG＝CF，∠DAG＝∠DCF＝45°，∴∠FAG＝90°，∴FA2+AG2＝FG2，∴FA2+FC2＝FG2，故①正确；作GI⊥AB交BA的延长线于点I，设AB＝AD＝BC＝DC＝2m，∵点E为边BC中点，∴BE＝CE＝BC＝m，∴DE＝∵OC＝OA＝∴OC＝OD＝OA＝∵CE∥AD，∴△CEF∽△ADF，

＝ m，AC＝ ＝2 m，m，OD＝OB＝BDm，∴ ＝ ＝ ＝ ＝，∴AG＝CF＝∴FG＝

m，DF＝DE＝＝ ＝ DF＝

m，m＝ m，∵∠I＝90°，∠IAG＝90°﹣∠DAG＝45°，∴∠IGA＝∠IAG＝45°，∴AI＝GI，∴2AI2＝2GI2＝AI2+GI2＝AG2＝（ m）2＝m2，∴AI＝GI＝m，∴BG＝ ＝ m，∴FG≠BG，∵∠FAG＝90°，点M为线段FG的中点，∴AM＝FM＝GM＝FG，∴AM≠BG，故②错误；∵OF＝ m﹣ m＝ m，∴ ＝ ＝故③正确；DMMH⊥OAHDM＝AM＝FG，∵AD⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵OD＝OA，DM＝AM，OM＝OM，∴△OMD≌△OMA（SSS），∴∠DOM＝∠AOM＝∠AOD＝45°，∵∠FHM＝∠FAG＝90°，∴HM∥AG，∴ ＝ ＝1，∴FH＝AH，∴HM＝AG＝× m＝ m，∵∠HMO＝∠HOM＝45°，∴HO＝HM，∴OM＝ ＝ ＝ HM＝ × m＝m，∴ ＝ ＝，故④正确，故答案为：①③④．【点评】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题：（17题8分，18题8分，19题一-24题各10分，25题12分，26题14分）17．（8分）解下列方程：（1）2x2+8x+3＝0（配方法）；（2）3t2﹣ t﹣3＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．解：（1）2x2+8x+3＝0，x2+4x+ ＝0，x2+4x＝﹣，x2+4x+4＝﹣（x+2）2＝，x+2＝± ，x+2＝＝x＝1

或x+2＝﹣2﹣2，x＝﹣2

，﹣2；（2）3t2﹣∵Δ＝（﹣＝2+36＝38＞0，∴t＝1∴t＝1

t﹣3＝0，）2﹣4×3×（﹣3），2，t＝ ．2【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图：11 画出△ABCOB11 22 O90B22 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．（2）根据旋转的性质作图即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．BCPACBDBD的长．的长．解：∵∠1＝∠2，∠APC＝∠BPD，∴△APC∽△BPD，∴BD＝

＝ ，＝ ＝，∴BD的长为．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，难度不大，是很好的练习题．xx2+（2k+1）x+k2+1＝0x1，x2．k的取值范围．x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2k的值．根据方程有两个不相等的实数根可得﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，求出k的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1＝k2+1，结合k的取值范围解方程即可．解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，解得：k＞；（2）∵k＞，1 1 ∴x+x＝﹣（2k+1）＜0，又∵x•x＝k2+1＞1 1 1 ∴x＜0，x＜01 1 2 1 2 1 ∴|x|+|x|＝﹣x﹣x＝﹣（x+x）＝2k+11 2 1 2 1 ∵ ＝•|+|x∵ ＝•1 2 1 2∴2k+1＝k2+1，1 ∴k＝0，k＝2，又∵k1 ∴k＝2．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，1 2 1 Δ＜0⇔+x＝﹣；（5）x•x＝1 2 1 ABCD中，EBCF．求证：△ABE∽△DFA；AB＝9，BC＝6EF的长．【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由EBC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似求AF，即可求EF．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵E是BC的中点，BC＝6，∴BE＝3，∵AB＝9，∴AE＝ ＝3 ，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DFA，∴ ＝ ， ＝ ，AF＝ ，∴EF＝AE﹣AF＝ ．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．30cm12cm的矩形铁皮．如图1制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为（30﹣2x）（12﹣2x）＝144由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．【分析】（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此问得解；（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（为（12﹣2y）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y取其较小值即可．解：（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，依题意，得：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．故答案为：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144；（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（为（12﹣2y）cm的矩形，依题意，得：（ ﹣y）（12﹣2y）＝104，

﹣y）cm，宽整理，得：y2﹣21y+38＝0，解得：y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去），∴y＝2．答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，正方形的边长为2cm．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．Rt△ABC中，∠ABC＝90DACDBBDBCEDBGG．求证：EB2＝EG•EA；CG，若∠CGE＝∠DBC【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质可得结论；（2）由直角三角形的性质得BD＝AC＝CD，再由相似三角形的判定与性质可得EC2＝GE•EA，结合（1）的结论可得答案．【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，∴∠BGE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BGE＝∠ABE，∵∠BEG＝∠AEB，∴△ABE∽△BGE，∴ ＝ ，即EB2＝EG•EA；（2）在Rt△ABCDAC的中点，∴BD＝AC＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CGE＝∠GEC，∴∠CGE＝∠DCB，∵∠GEC＝∠GEC，∴△GEC∽△CEA，∴ ＝ ，∴EC2＝GE•EA，由（1）知EB2＝EG•EA，∴EC2＝EB2，∴BE＝CE．【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决此题关键．“南国梨”素有“梨中之王”美称，主产于中国辽宁省的鞍ft，2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率．8元/400千克，售0.5106元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过17元/2400/千克？【分析】设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x，利用该南国梨种2022年种植面积＝2020该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率x得出结论；（2）设售价为y元/千克，则每千克的销售利润为元，每周能售出千克，利用总利润＝y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：（1）设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x，依题意得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．答：该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为25%．（2）设售价为y元/千克，则每千克的销售利润为（y﹣6）元，每周能售出400﹣10×＝（560﹣20y）千克，整理得：y2﹣34y+288＝0，16元/千克．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．（12分）BC上一动点（B、C重合），AEAEAAFMNBC，EF的中点．1，若∠BAC＝120EBC

＝ BE与MN相交所成的锐角的度数为 60 度．2，若∠BAC＝120EBC边上任意一点时（BC重合），两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．若点E在直线BC上运动， ＝，若其它条件不变，过点C作CP∥MN，交直线EF于P，直接写出P到BC的距离 2 ．【分析】（1）证明AC⊥EF，利用直角三角形30度角的性质证明即可；2AM，AN．证明△BAE∽△MAN，推出∠B＝∠AMN＝30°， ＝ ＝2，可得结论；如图3中，连接PPH⊥BCH＝结论．

＝ ，∠AMN＝∠ABE＝60PC，可得解：（1）1中，∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥CB，∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝60°，∵∠EAF＝∠BAC＝120°，∴∠CAE＝∠CAF＝60°，∵AE＝AF，∴AC⊥EF，EN＝FN，∵∠C＝∠B＝30°，∴EC＝2MN，∠FEC＝60°∴BE＝2MNBEMN故答案为：，60；结论成立．2AM，AN．∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥CM，∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM＝60°，∴AB＝2AM，同法可证AE＝2AN，∠EAN＝60°，∴∠BAM＝∠EAN＝60°，∴∠BAE＝∠MAN，∵ ＝ ＝2，∴△BAE∽△MAN，∴∠B＝∠AMN＝30°， ＝ ＝2，∴ ＝，∠NMC＝60°，∴直线BE与MN相交所成的锐角的度数为60°；3AM，ANPPH⊥BCH．∵△ABC，△AEF都是等边三角形，BM＝CM，EN＝FN，∴AM⊥BC，AN⊥EF，∴ ＝ ＝ ，∵∠BAM＝∠EAN＝30°，∴∠BAE＝∠MAN，∴△BAE∽△MAN，∴ ＝ ＝ ，∠AMN＝∠ABE＝60°，∵∠AMC＝90°，∴∠NMC＝30°，∵AB＝6，BE：EC＝1：2，∴BE＝2，EC＝4，∵BM＝CM＝3，∴EM＝1，∴M