与频率域图像增强

与频率域图像增强

概述上节提到，傅立叶变换的频谱图中，中心是零频，离中心越远对应的频率越高。边缘、细线、噪声等灰度急剧变换都对图像傅立叶变换的高频成分产生重要的贡献

频域处理的基础是频域滤波，设原图像为f(x,y)，其傅立叶变换是F(u,v)。就可以通过一个滤波函数H(u,v)来改变F(u,v)，处理后原图像的频谱为再经逆傅立叶变换，可得滤波后的图像直接用频域率波的过程图如下FFTiFFT

傅立叶变换在图像平滑锐化、锐化、消除噪声，以及伪彩色编码中都有广泛的应用，其中图像的平滑和锐化分别可以通过高通和低通滤波完成。筛子

频率域平滑滤波器

(SmoothingFrequency-DomainFilters)1.理想的低通滤波器(IdealLowpassFilters)其中在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减的通过滤波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉。由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像变模糊。

例题：显示理想低通滤波器的频率响应函数。解：%ideallp.m%该程序显示理想低通滤波器的%频率响应函数H=zeros(512);u=1:512;v=1:512;[V,U]=meshgrid(v,u);%产生坐标格点矩阵，即V的每一个元素值为所在列的列号，U的每个元素值为所在行的行号D=sqrt((V-257).^2+(U-257).^2);H(D<50)=1;mesh(u-257,v-257,H)xlabel('u')ylabel('v')zlabel('H(u,v)')title('理想低通滤波器的频率响应函数')例题：理想低通滤波器的平滑作用。解：%fig4d12.m%理想低通滤波器的平滑作用，见冈萨雷斯《数字图像处理》（第二版）P135图4.12f=imread('Fig4.11(a).jpg');subplot(321);imshow(f,[]);title('原图');F=fftshift(fft2(f,size(f,1),size(f,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);%屏幕左上角坐标为（1，1），中央为（M/2+1,N/2+1）H=zeros(size(f));H(D<5)=1;G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(322);imshow(real(G1),[]);title('半径小于5的理想低通滤波器');H(D<15)=1;G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(323);imshow(real(G1),[]);title('半径小于15的理想低通滤波器');H(D<30)=1;G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(324);imshow(real(G1),[]);title('半径小于30的理想低通滤波器');H(D<80)=1;G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(325);imshow(real(G1),[]);title('半径小于80的理想低通滤波器');H(D<230)=1;G=F.*H;%频域低通滤波G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(326);imshow(real(G1),[]);title('半径小于230的理想低通滤波器');图像和图像的傅立叶谱

右图中：从左至右从上到下，以此为原图像和上图（右）所示的半径分别为5、15、30、80、230像素的半径进行理想滤波的结果。由这些滤波器滤除的功率分别为总功率的8%、5.4%、3.6%、2%、0.5%。

图像选自冈萨雷斯

频域低通滤波器对应的空间滤波器有两个重要特征：在原点处的一个主要成份，及中心成分周围集中、呈周期性分布的成分。中心成分主要决定模糊，周围集中、呈周期性分布的成分主要决定了理想滤波的振铃现象的特性。半径为5的频率域ILPF相应的空间滤波器空间域的5个脉冲模拟5个像素值思考：从振铃效应可得到那些启示？空间域卷积理想低通滤波的振铃(ringing)效应2.巴特沃思低通滤波器(ButterworthLowpassFilters)当时它的特性是连续性衰减，而不像理想滤波器那样陡峭变化，即明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的同时，图像边缘的模糊程度大大减小，一阶巴特沃思滤波器没有振铃效应，阶数越高振铃效应越明显。例题：显示巴特沃思低通滤波器的频率响应函数。解：%Blp.m%该程序显示巴特沃思低通滤波器的%频率响应函数H=zeros(512);u=1:512;v=1:512;[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((V-257).^2+(U-257).^2);D0=75;n=2;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));mesh(u-257,v-257,H)xlabel('u')ylabel('v')zlabel('H(u,v)')title('二阶巴特沃思低通滤波器的频率响应函数')例题：巴特沃斯低通滤波器的平滑作用。

解：%fig4d15.m%巴特沃斯低通滤波器的平滑作用,见冈萨雷雷斯《数字%图像处理》（第二版）P138图4.15f=imread('d:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.11(a).jpg');subplot(321);imshow(f,[]);title('原图');F=fftshift(fft2(f,size(f,1),size(f,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);H=zeros(size(f));D0=5;n=2;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));G=F.*H;%频域低通滤波G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(322);imshow(real(G1),[]);title('半径小于5的巴特沃思低通滤波器');D0=15;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(323);imshow(real(G1),[]);title('半径小于15的巴特沃思低通滤波器');D0=30;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(324);imshow(real(G1),[]);title('半径小于30的巴特沃思低通滤波器');D0=80;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(325);imshow(real(G1),[]);title('半径小于80的巴特沃思低通滤波器');D0=230;H=1./(1+(D./D0).^(2*n));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(326);imshow(real(G1),[]);title('半径小于230的巴特沃思低通滤波器');截止频率点半径分别为5、15、30、80、230二阶巴特沃思低通滤波125203.高斯低通滤波器(GaussianLowpassFilters)当时例题：显示高斯低通滤波器的频率响应函数。%Glp.m%该程序显示高斯低通滤波器的%频率响应函数H=zeros(512);u=1:512;v=1:512;[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((V-257).^2+(U-257).^2);D0=75;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));mesh(u-257,v-257,H)xlabel('u')ylabel('v')zlabel('H(u,v)')title('高斯低通滤波器的频率响应函数')例题：高斯低通滤波器的平滑作用。解：%fig4d18.m%高斯低通滤波器的平滑作用，见冈萨雷斯《数字图像处理》（第二版）P140图4.18f=imread('Fig3.35(a).jpg');subplot(321);imshow(f,[]);title('原图');F=fftshift(fft2(f,size(f,1),size(f,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);H=zeros(size(f));D0=5;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;%频域高斯低通滤波G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(322);imshow(real(G1),[]);title('半径小于5的高斯低通滤波器');D0=15;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(323);imshow(real(G1),[]);title('半径小于15的高斯低通滤波器');D0=30;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(324);imshow(real(G1),[]);title('半径小于30的高斯低通滤波器');D0=80;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(325);imshow(real(G1),[]);title('半径小于80的高斯低通滤波器');D0=230;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(326);imshow(real(G1),[]);title('半径小于230的高斯低通滤波器');截止频率点半径分别为5、15、30、80、230高斯低通滤波注意：高斯低通滤波没有振铃效应！思考：高斯低通滤波为什么没有振铃效应？理想低通滤波巴特沃思低通滤波高斯低通滤波

此处柔弱胜刚强！

原图像高斯低通滤波低通滤波应用之一在、复印文件就容易形成低分辨率文本，字符由于分辨率不足有了失真形状，并且许多字符都断裂了。处理这类问题常用的方法是通过模糊这些图像来桥接这些裂缝。印刷业中使尖锐的图像变得平滑、看上去看柔和D0=100D0=80

原图像低通滤波应用之二

频率域锐化滤波器(SharpeningFrequencyDomainFilters)1.理想的高通滤波器2.巴特沃思高通滤波器3.高斯高通滤波器高通滤波的空间表示理想高通滤波器巴特沃思高通滤波器高斯高通滤波器

图像选自冈萨雷斯

频域的拉普拉斯(Laplacian)算子作为特例，拉普拉斯算子例题：显示拉普拉斯滤波器的频率响应函数解：%laplacefilter.m%该程序显示拉普拉斯高通滤波器的%频率响应函数H=zeros(512);u=1:512;v=1:512;[V,U]=meshgrid(v,u);H=-((V-257).^2+(U-257).^2);mesh(u-257,v-257,H)xlabel('u')ylabel('v')zlabel('H(u,v)')title('拉普拉斯滤波器的频率响应函数')0101-41010从原始图形中减去拉普拉斯算子部分，形成g(x,y)的增强图像：将拉普拉斯算子从原图中减去（而不是加）是由式的负号决定的。这与空间域拉普拉斯变换对图像增强的基本方法相一致。例题：显示拉普拉斯滤波器的锐化增强作用。解：%fig4d28b.m%该程序在频域对图像进行拉普拉斯锐化增强，%得到冈萨雷斯《数字图像处理》（第二版）%P149图4.28f=imread('d:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.28(a).jpg');F=fftshift(fft2(f,size(f,1),size(f,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);H=zeros(size(f));D0=40;H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));G=F.*H;%频域高斯低通滤波，使图像变模糊g=ifft2(ifftshift(G));subplot(221);g=real(g);g=mat2gray(g);%把矩阵元素转换为[0，1]内的双精度数imshow(g,[]);title('模糊图像');F=fftshift(fft2(g,size(g,1),size(g,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);H=zeros(size(f));H=-((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);%拉普拉斯滤波器频率响应函数G=F.*H;%频域拉普拉斯滤波G1=real(ifft2(ifftshift(G)));subplot(222);imshow(G1,[]);title('拉普拉斯滤波后的图像');G2=G1/max(G1(:));G3=im2uint8(G2);subplot(223);imshow(G3,[])title('标定后的图像');G2=mat2gray(G2,[0,1]);G2=g-G2;subplot(224);G2=histeq(G2);imshow(G2,[]);title('拉普拉斯算符增强图像');

周期噪声的频域滤波器

(PeriodicNoiseReductionbyFrequencyDomainFiltering)1.带阻滤波器(BandrejectFilters)带阻滤波器阻止一定频率范围内的信号通过而允许其它频率范围内的信号通过。理想带阻滤波器的表达式为：这里，W是频带的宽度，D0是频带的中心半径。

同样n阶的巴特沃思带阻滤波器的表达式为：高斯带阻滤波器的表达式为：理想滤波器、巴特沃思滤波器（阶数为1）和高斯带阻滤波器的透视图

图像选自冈萨雷斯

带阻滤波器2.带通滤波器(BandpassFilters)带通滤波器执行与带阻滤波器相反的操作，带通滤波器的传递函数据相应的带阻滤波器的传递函数并应用下式得到的：

图像选自冈萨雷斯

带通滤波器

同态滤波

(HomomorphicFiltering)特点：动态范围很大感兴趣的图中某一部分的灰度范围很小，分不清物体的灰度层次和细节。

线性变换无效扩展灰度级能提高反差但会使动态范围变大压缩灰度级，可以减少灰度级，但物体的灰度层次会更不清晰能不能同时压缩动态范围又让感兴趣的物体图像灰度级扩展？1）照明反射模型与同态滤波一幅图像可以用它的照射分量和反射分量表示

其中照射分量取决于光源，且入射光比较均匀，随空间域变化较小，与傅立叶变换的低频成分相联系。反射分量往往引起突变，物体性质和结构特点不同，随空间位置变化比较剧烈，往往与傅立叶变换的高频成份联系

把照射和反射分量分开并施与不同的影响设进行傅立叶变换，

再选择适当的滤波函数，对不同的频率分量进行处理，使图像得到改善。2）常用滤波函数

下图是利用照射和反射模型处理图像时选用一种滤波函数的剖面，和时可以分别增强高频分量减少低频分量的影响，处理目的不同，选用的滤波器也不同。逆傅立叶变换，得到原图像图像增强中的同态滤波过程%《数字图像处理》（第二版）P154图4.33f=imread('d:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.33b.jpg');f=rgb2gray(f);subplot(121);imshow(f,[])title('原图');f=im2double(f);F=fftshift(fft2(log(f+eps),size(f,1),size(f,2)));u=1:size(F,1);v=1:size(F,2);[V,U]=meshgrid(v,u);D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);H=zeros(size(f));D0=5;c=1.5;H=1.5*(1-exp(-c*D.^2./D0.^2))+0.5;%同态滤波器频率响应函数G=F.*H;G1=ifft2(ifftshift(G));subplot(122);g=real(exp(G1));g=mat2gray(g);g=histeq(g);%直方图均衡化imshow(g,[]);title('同态滤波图');原图像同态滤波图

同态滤波进行图像增强是把频域滤波和灰度变换相结合的一种处理方法。把图像的照明反射模型作为频域处理的基础，利用减小亮度动态范围和增强对比度来改善图像的一种处理技术。

卷积(Convolution)与相关(Correlation)计算1、快速卷积计算：当时，可以用频域方法求出卷积%myconv.m%本程序利用频域及空域卷积法对两幅图像求卷积并比较A=magic(3);subplot(221)imshow(A,[])title('A图像')B