天津理工大学《高等数学》课件-集合与数列极限

高等数学天津理工大学集合与数列极限课前导读集合

习惯上，用大写英文字母

表示集合，用小写字母

表示集合的元素.2具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别对象称为集合的元素.

表示

是集

的元素（读作

属于

），

表示

不是集

的元素（读作

不属于

）.

集合按照元素的个数分为有限集和无限集

，不含任何元素的集合称为空集，记为.一、集合的概念

我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作.由整数的全体构成的集合称为整数集，记为.

用

表示全体有理数构成的有理数集，

表示全体实数构成的实数集.显然有.

注：

在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.1.集合及其运算

由同时包含于

与

的元素构成的集合（见图

1-2），称为

与的交集（简称交），记作

，即

且

；

由包含于

或包含于

的所有元素构成的集合（见图

1-3），称为与

的并集（简称并），记作

，即

或

；集合的基本运算有四种：并、交、差、补.设

是两个集合.图1-2图1-31.集合及其运算

由包含于

但不包含于

的元素构成的集合（见图

1-4），称为

与

的差集（简称差），记作

，即

且

；

特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为

）中进行，图1-4图1-5集合

是

的子集（见图

1-5），此时称

为

的余集（或补集），记作

或.1.集合及其运算关于集合的余集，我们有如下性质.性质1（对偶性质）设

是一个基本集，

是它的两个子集，则01OPTION02OPTION1.集合及其运算

设

是两个非空的集合，则由有序数对

组成的集合称为

与

的直积.例如：设

即为

面上全体点的集合，

常记作.图1-6则

，如图

1-6所示.

除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积.2.区间数集称为开区间，记作（见图1-7），即和称为开区间的端点，其中为左端点，为右端点，且，

.类似地，数集称为闭区间，记作（见图1-8），

图1-7设和都是实数，且，图1-8和也称为闭区间的端点，且，.abx(a,b)[a,b]abx2.区间数集及称为半开区间，分别记作和(见图1-9和图1-10）.以上这些区间都称为有限区间，数称为这些区间的长度.从数轴上看，这些区间是长度为有限的线段.图1-9图1-10[a,b)(a,b]abxabx2.区间这些区间在数轴上表示长度无限的半直线，如图1-11~1-14所示.图1-11此外，对于这样的集合：，，，，我们引进记号（读作正无穷大）及（读作负无穷大），则可类似的表示无限的半开区间或开区间：图1-12图1-13图1-14全体实数的集合也记作，它也是无限的开区间.

abx

axbxbx3.邻域图1-15设与为两个实数，且，数集称为点的邻域，记作

，即，其中称作的中心，称作的半径.因此，也就是开区间.见图1-15，显然，这个开区间以点为中心，而长度为.

+在数轴上，表示点与点的距离，因此点的邻域在数轴上就表示与点距离小于的点的全体.由于等价于，即，所以3.邻域有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），点的邻域去掉中心后，称为点的去心

邻域，记作，即这里就表示.为了方便，有时将开区间称为的左邻域，而将开区间称为

的右邻域.如果不强调半径，以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记作.-+图1-16二、常用函数(α

是常数)y=xyy=x2

x11oy=x3(1,1)

图1-171.基本初等函数（反、对、幂、三、指）当时，的定义域是；(１)幂函数:当时，的定义域是；当时，的定义域是（见图1-17）；当时，的定义域是,幂函数的最小定义域是.(３)对数函数:1.基本初等函数yx1Oyx1O(a>1)(0<a<1)图1-20图1-21当时，

是单调减少函数(见图1-21).当时的对数函数记为，称为自然对数函数.对数函数的定义域是,其图像位于

轴的右方且通过点..当

时，是单调增加函数(见图1-20)；1.基本初等函数对数具有以下运算性质：对任意的，,（i）（ii）（iii）和互为反函数，它们的图像关于直线对称，且有，进一步，我们在以后的计算中经常会用到和.1.基本初等函数的定义域是，值域是，最小正周期是π，在定义域上是奇函数（见图1-24）；图1-24图1-25的定义域是，值域是，最小正周期是π，在定义域上是奇函数（见图1-25）；-ππ2π3π

x﹣ππ2π3π

xyy

1.基本初等函数正割、余割函数与余弦、正弦函数的关系式为1.基本初等函数(５)反三角函数定义１在区间上的正弦函数的反函数记作，定义域为，值域为，称为反正弦函数(见图1-26).yπ2π211Ox图1-26

1.基本初等函数定义2在区间上的余弦函数的反函数记作，图1-27定义域为，值域为，称为反余弦函数(见图1-27).y=arccosx,

[1,1]yπ-11Ox2.几类特殊的函数例1

函数，其中C为某确定的常数.它的定义域为，值域为，它的图形是一条平行于x

轴的直线(见图1-30)，这个函数称为常数函数.Oxy图1-30例2函数的定义域为，值域，它的图形如图1-31所示，这个函数称为绝对值函数.Oxyxy=图1-312.几类特殊的函数例3函数的定义域为，值域，它的图形如图1-32所示,这个函数称为符号函数.xy1Oy=sgnx-1图1-322.几类特殊的函数例4设为任一实数，比如，，，,-2-10123-1-212y=[x]xy图1-33

函数的定义域为，值域为整数集，它的图形如图1-33所示.

不超过的最大整数称为的整数部分，记作.可以看出，它的图形在的整数值处出现跳跃，而跃度为１，这个函数称为取整函数.一般地，有

，当2.几类特殊的函数在例２、例３等例子中看到，有时一个函数要用几个式子表示，这种自变量在不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数.

分段函数在实际问题中经常出现，我们应重视对它的研究.2.几类特殊的函数例5函数

是一个分段函数,它的定义域

.当时，对应的函数值；当时，对应的函数值.它的图形如图1-34所示.例如，则；

，则.yy=f(x)y=x-1－1O1y=x3x1图1-343.初等函数我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的，并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.例如都是初等函数，本书中讨论的函数基本上都是初等函数.3.初等函数例6设，求和.解01OPTION02OPTION03OPTION3.初等函数例７求函数的定义域.解所给函数由复合而成.从而，

的定义域是，因此，函数的定义域为.即，解这个关于的不等式，得，3.初等函数例8设的定义域是，求的定义域.解函数

由复合而成.因为

的定义域为，

因此，开区间

的并即为

的定义域.即.故必有的值域是，课前导读29数列

:我们把这无穷多个数排成的序列称为数列，其中称为数列的首项，称为数列的第n

项，或称为数列的一般项(通项).等差数列

:公差，通项公式为，前n项求和公式为.等比数列

:公比，通项公式为，前n项求和公式为.一、数列极限的概念一尺之棰，日取其半，万世不竭.———«庄子·天下篇»一尺长的木棍，每天截掉一半，每天截取的长度按照天数可排成一个数列:１.数列极限的引入

数列的通项为，当无限增大(记作，读作趋于无穷大)时，

在数学上称这个确定的数0是数列当时的极限.无限接近一个确定的数0.

１.数列极限的引入解决实际问题时，经常用到极限方法.极限方法作为高等数学中的一种基本方法，很有必要做进一步详细的讨论.先看下面的４个数列.，，，…，，…;，，，…，，…;，，，…，，…;，，，…，，…;（2）（1）（4）（3）它们的一般项依次为，，，.１.数列极限的引入在几何上，数列

可看作数轴上的一个动点，如图1-35所示，它依次取数轴上的点，，，，…x3x2

x1x4x5x6xnx图1-35按函数的定义，数列

可看作自变量为正整数的函数，即，它的定义域是全体正整数，当自变量依次取时，对应的函数值就排列成数列.１.数列极限的引入现在我们所关心的问题是:(１)给定一个数列后，该数列的变化趋势如何？

随着的无限增大，能否无限接近某个常数?(２)如果能无限接近某个确定的数，则该常数是多少?.2.数列极限的定义设为一数列，定义如果这样的常数不存在，就称数列没有极限，或称数列发散.

，或.或者称数列

收敛于，记作如果存在一个常数，对于任意给定的正数，总存在一个正整数，使得对于

时的一切，不等式

均成立，则称常数

是数列

的极限，2.数列极限的定义我们用“”表示“任意的”，用“”表示“存在”，就可以用更简洁的语言来描述数列的极限.如果

，，当

时，恒有，则.

注

(１)定义中，

刻画了和的接近程度，的“任意”性极其重要.只有这样，

才能体现和的“无限接近”；

(２)正整数与任意给定的正数

有关.对于给定的

，相应的不是唯一的，即只要其存在，并没有要求其达到最小；(３)由定义也可看出，的极限是否存在仅与它的发展趋势有关.只要从某项开始，

即可，与前有限项的变化无关.若在数轴上标出，，…，，…及，2.数列极限的定义下面给出“数列

的极限为”的几何解释.数列极限几何解释再作的

邻域(见图1-36)，就会发现，当

时，点均落在内，至多有有限个(个)落在外.a-2a+

图1-362.数列极限的定义例１已知，证明