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文档简介

第三章矩阵矩阵及其运算矩阵的初等变换逆矩阵矩阵的秩分块矩阵矩阵的概念矩阵的运算矩阵的转置第一、二节矩阵的概念与运算1.线性方程组的解取决于系数常数项对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为一、矩阵概念的引入定义1

排成的行列的数表称为行列的矩阵二、矩阵的概念个数由简称矩阵为表示它是一个整体，总是加一个大括号，并用大写黑体字母表示，记作简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.主对角线副对角线（2）只有一行的矩阵称为行矩阵。又称行向量。记作：只有一列的矩阵称为列矩阵。又称列向量。记作：三、几个特殊的矩阵行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作

称为对角矩阵(或对角阵）.（4）形如的方阵,不全为0记作（3）元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作：注意不同阶数的零矩阵是不相同的.例如(4)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.(5)

n阶方阵称为n阶数量矩阵。其特点是：（6）方阵称为上三角形矩阵。（7）方阵称为下三角形矩阵。其特点是：（8）若方阵A满足条件：则称A为对称矩阵。其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。若对应元素相等则称矩阵A与B相等，记作A=B定义2设两个矩阵1、矩阵的加法则矩阵称为矩阵A与B的和。记为C=A+B定义3设-A称为矩阵A的负矩阵。由此可定义矩阵的减法为：A-B=A+（-B）矩阵的代数运算（1）结合律：A+（B+C）=（A+B）+C（4）A+（-A）=O（2）交换律：A+B=B+A（3）A+O=O+A=A加法的运算规律2、数乘矩阵定义4数k和矩阵的乘积记作kA注意：数乘矩阵是用该数乘此矩阵的每一个元素。这一点一定要与数乘行列式加以区别。数乘矩阵运算规律3、矩阵的乘法定义5例如故又如例如不存在.注意：要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B第j列对应元素乘积之和。此处(4)EA=A；AE=A设A、B、C、O、E下面各式中相应的乘法和加法运算中都能进行，k为实数，则：(1)结合律：A（BC）=（AB）C；(2)分配律：A（B+C）=AB+AC；（B+C）A=BA+CA(3)OA=O；AO=O矩阵乘法运算规律k（AB）=A（kB）4矩阵的转置为矩阵A的转置矩阵。定义6由转置矩阵的定义可知如下结论：矩阵A为对称矩阵的充要条件为转置的性质：例已知解法1解法2定义7由方阵的元素构成的行列式称为矩阵A的行列式，记作：要注意区分方阵与方阵的行列式。方阵行列式的性质设A为n阶方阵，若|A|=0，称A为奇异方阵（或称A为退化的），否则，称A为非奇异方阵（或称A为非退化的）。定义85

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