解决应用性问题的思路和方法

应用题专题复习解决应用性问题的思路和方法：实际问题

分析、联系、抽象、转化建立数学模型（列数学关系式）数学方法数学结果实际结果回答问题解决应用性问题的关键是:应用题反馈读题——懂题——建立数学关系式

例1、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润.分析：利润=（零售价—进货单价）*销售量零售价50515253….50+x销售量50494847….50-x故有：设利润为y元，零售价上涨x元

y=（50+x-40）*（50-x）（其中0〈x〈50）y=-x2+40x+500即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润.最高利润为900元.1.读懂题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。“整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象；“局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；“分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；“领悟实质”是指抓住题目中的主要问题、正确识别其类型。2.建立数学模型。将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。3.求解数学模型。

根据所建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件。4.检验。

既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题作出合乎实际意义的回答。（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决；中学数学中常见应用问题与数学模型（1）最优化问题：实际问题中的“优选”、“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决；（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决；（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值；（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决。（6）风险分析决策问题：可设计函数或概率型问题解决。例2、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的。根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润年份97（n=1）98（n=2）99（n=3）2000（n=4）…（第n年）甲企业

乙企业

总利润略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。

y=+当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题。（2）2005年时，n=9此时y==8201.25+28.9即2005年底该乡能达到小康水平。例3、长沙市某电脑公司在市区和星沙各有一分公司，市区分公司现有电脑6台，星沙分公司有同一型号电脑12台，湘潭某单位向该公司购买该型号电脑10台，株洲某单位向该公司购买该型号电脑8台，已知市区运往湘潭和株洲每台电脑的运费分别是40元和30元，星沙运往湘潭和株洲每台电脑的运费分别是80元和50元．（1）设从星沙调运x台至湘潭，该公司运往湘潭和株洲的总运费为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若总运费不超过1000元，问能有几种调运方案？（3）

求总运费最低的调运方案及最低运费．长沙星沙湘潭分析：株洲有6台有12台（要10台）（要8台）40元/台30元/台80元/台50元/台公司购买单位数量运费长沙星沙湘潭湘潭株洲株洲xx-410-x12-x80x30（x-4）40（10-x）50（12-x）注：x取值范围是什么？略解：（1）设从星沙调运x台至湘潭，则由题意可得：

y=40（10-x）+30（x-4）+80x+50（12-x）得：y=20x+880（2）即得：

而故x=4、5、6所以有三种调配方案总运费不超过1000元。（3）显然x取最小时，y值最小。即x=4时，y最小为960元。例4、一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、……、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P0=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站。直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束。已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第n站时的概率为Pn。（1）求P1，P2，P3；（2）设，求证：数列是等比数列；

（3）求玩该游戏获胜的概率。5、如图所示，是树形图形．第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成1350的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度。

1)求第三层及第四层树形图的高度H3，H4；

2)求第n层树形图的高度Hn；3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”。是否存在时，该树形图是“高大”的?使得当6、某水库年初的存水量为a（a≥10000），其中污染物的含量为P0，该年每月降入水库的水量与月份x的关系是（1≤x≤12，x∈N