数字电路第二章逻辑代数与逻辑函数化简

第二章逻辑代数与逻辑函数化简逻辑代数基本逻辑运算逻辑代数的基本定律和规则逻辑函数的代数法化简逻辑函数的卡诺图法化简§2.1逻辑代数逻辑变量（自变量）普通代数的自变量具有一定取值范围，表达某一意义。例如时间t，取值范围[0,+∞)，表示时间的变化。逻辑变量的取值范围为0和1，表示两种状态。逻辑函数（因变量）普通是随着它的自变量变化的因变量，具有一定的值域。逻辑函数是随着逻辑变量变化的函数，它的值域为0和1。与门国标符号与门国际流行符号ABC§2.2基本逻辑运算——与开关A开关B灯F断断断通通断通通灭灭亮灭ABABF000110110010真值表0AB&§2.2基本逻辑运算——或开关A开关B灯F断断断通通断通通灭亮亮亮AB或门国标符号AB或门国际流行符号ABABF000110110111真值表ABC§2.2基本逻辑运算——非A开关A灯F关亮开灭AF0110AA非门国标符号非门国际流行符号ABABABAB与非门或非门1&11³1&1³§2.2基本逻辑运算——异或、同或、与或非异或：输入的两个变量相同时，输出为0；相反时，输出为1。AB同或：输入的两个变量相同时，输出为1；相反时，输出为0。AB与或非：ABCDAB1&1&1³多变量的异或ABCDFABCDFABCDF000001000111101101001011101111111101001001001结论：多个变量异或时，变量中有奇数个1时，结果为1；变量中有偶数个1时，结果为0。§2.3.1逻辑代数的基本定律逻辑函数的相等：逻辑代数的基本定律：例2.3.1：P19BCAABAC真值表相同P21，熟记例2.3.2：摩根定理反演规则§2.3.2逻辑代数的基本规则代入规则对偶规则：对偶式相等的逻辑函数的对偶式也相等§2.4.1逻辑函数的基本形式与或式：先与后或一个逻辑函数可以有许多不同的表达式，其基本形式有：在电路上可以用与门和或门实现。或与式：先或后与在电路上可以用或门和与门实现。与非式：只有与非运算在电路上可以用与非门实现。或非式：只有或非运算在电路上可以用或非门实现。与或非式：只有与或非运算在电路上可以用与或非门实现。§2.4.2逻辑函数的转换通常是将“与或式”转换为其他形式与或式转换为或与式与或式转换为与非式或与式转换为或非式或与式转换为与或非式§2.4.3逻辑函数的代数法化简化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。化简的方法：综合利用P21表2.3.4的基本定律并项法：利用吸收法：利用消去法：利用配项法：利用化简的标准：常用的函数形式为与或式，最简的与或式应该是：乘积项的数目最少，同时每个乘积项中变量的个数最少。例2.4.1例2.4.2例习题二2.6(8)例习题二2.6(10)§2.5.1逻辑函数的最小项表达式公式化简法评价：优点：变量个数不受限制。缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。00000000000000000000000000000000000000000000000000000000§2.5.1逻辑函数的最小项表达式最小项：含有逻辑问题的全部变量，且所有变量都以原变量或反变量的形式仅出现一次。

n个变量共有个最小项。

ABC0000010100111011011101110123456711111111§2.5.1逻辑函数的最小项表达式最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。最小项可用“mi”表示，下标“i”即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。最小项性质：对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；任意两个不同的最小项之积恒为0；变量全部最小项之和恒为1。逻辑函数的最小项表达式：全部以最小项组成的与或式§2.5.2逻辑函数的卡诺图逻辑函数的卡诺图：卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：n变量的卡诺图有2n个小方块（最小项）；最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。几何相邻的含义：一是相邻——紧挨的；二是相对——任一行或一列的两头；三是相重——对折起来后位置相重。§2.5.2逻辑函数的卡诺图卡诺图的画法：3变量的卡诺图有23个小方块；几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按00、01、11、10的顺序（循环码）排列。正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。§2.5.2逻辑函数的卡诺图0001111001m7m3m6m1m0m4m5m2卡诺图的画法：从最小项表达式画卡诺图把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1，其余的小方块中填入0。§2.5.2逻辑函数的卡诺图111100011110010000填写卡诺图的技巧00011110000111101111111110001111000011110§2.5.4利用卡诺图化简逻辑函数把卡诺图上相邻的1用圆圈圈起来，按“从小到大”的顺序圆圈里尽可能包含最多的1，1的个数为，圆圈数尽可能少同一区域可以被重复圈每个1都要被圈到111111111卡诺图法化简逻辑函数的步骤把逻辑函数写成最小项表达式画出卡诺图在对应最小项的位置填写1画圈（注意规则）将圈中的1合并成为“与”表达式将合并后的“与”表达式相或，即得到化简后的逻辑函数（2）利用卡诺图化简逻辑函数

A．基本步骤：

①画出逻辑函数的卡诺图；②合并相邻最小项（圈组）；③从圈组写出最简与或表达式。

B．正确圈组的原则①必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相邻最小项；②每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次；③圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能大（消去的变量就越多）。

C．从圈组写最简与或表达式的方法：

①将每个圈用一个与项表示

圈内各最小项中互补的因子消去，相同的因子保留，相同取值为1用原变量，相同取值为0用反变量；

②将各与项相或，便得到最简与或表达式。用卡诺图化简逻辑函数

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相邻相邻BCABD例1-11化简图示逻辑函数。解：多余的圈11223344§2.5.6有“约束”的逻辑函数的化简“约束”是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相“制约”的概念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的(随意项、任意项)，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出现(约束项)，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号“×”表示，在标准与或表达式中用∑d（）表示。“约束条件”所含的最小项称为“约束项”，或“无关项”、“禁止项”§2.5.6有“约束”的逻辑函数的化简例2.5.3：如图电路，A、B、C、D是十进制数x的8421BCD编码，当x≥5时输出F为1。求F的最简与或表达式。ABCDF解：列真值表画卡诺图000111100001111011111××××××xABCDF501011601101701111810001910011-1010×-1011×-1100×-1101×-1110×-1111×