双曲线与它的标准方程

双曲线与它的标准方程执教：刘义强欢迎各位教师光临指导椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．

椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上的标准方程(2)焦点在y轴上的标准方程那么点的轨迹会怎样?平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹……问题:4：当常数2a＞|F1F2|时，P点的轨迹呢？根据演示图形回答问题:1：|PF1|与|PF2|哪个大？当P在双曲线右支上时，|PF1|＞|PF2|；当点P在双曲线左支上时，|PF1|＜|PF2|．2：点P与定点F1、F2距离的差是否就是|PF1|-|PF2|？也可以是|PF2|-|PF1|．正确表示为||PF2|-|PF1||3：当常数2a=|F1F2|时，P点的轨迹是什么？轨迹是以F1、F2为端点的两条射线。无轨迹

平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．F1F2OxyP双曲线的定义：这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

双曲线方程的推导：建立平面直角坐标系:

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．(3)根据题意寻找关系式：

||PF1|-|PF2||=2a

即：|PF1|-|PF2|=±2a(2)

设P(x，y)为双曲线上任意一点。双曲线的焦距是2c(c＞0)．那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点P与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．xyF1F2PO(4)建立代数方程：∵F1(-c,0);F2(c,0)∴(5)化简方程：将这个方程移项，两边平方得：

移项，两边再平方整理得：

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．xyF1F2PO(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．设：c2-a2=b2由双曲线定义：2c＞2a即c＞a，所以c2-a2＞0．

∴

c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2．即：焦点在x轴上的双曲线焦点F1(-c,0);F2(c,0).这里c2=a2+b2xyF1F2PO焦点在y轴上的双曲线焦点F1(0,c);F2(0,-c).这里c2=a2+b2F1F2Pxyo如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意：那么如何鉴别a,b呢？a2项对应的分子是焦点所在轴的字母;或a2项前面的符号是正的。例题与练习：1.指出下列双曲线方程中的a,b,c.并指出它的焦点坐标(3)x2-y2=4(4)x2-4y2=-2解:

∵

a=3;b=4c2=a2+b2=25

∴c=5焦点:F1(-5,0);F2(5,0)解:方程变换为:∵

a=4;b=3;c2=a2+b2=25

∴c=5焦点:F1(0,5);F2(0,-5)解:方程变换为:∵

a=2;b=2c2=a2+b2=8

∴c=焦点:解:方程变换为:2.已知:双曲线的焦距是6,双曲线上的点到两个焦点距离的差的绝对值等于4,写出双曲线的标准方程和交点坐标。

解：∵2c=6,2a=4∴c=3,a=2∴b2=c2-a2=9-4=5(1)若焦点在x轴上，双曲线的标准方程是它的两个焦点坐标为（-3，0）和（3，0）(2)若焦点在y轴上，双曲线的标准方程是

它的两个焦点坐标为（0，3）和（0，-3）3.如果双曲线x2-my2=15的焦点与椭圆

的焦点相同，求m的值解：中c2=25-9=16;∴c=4双曲线方程x2-my2=15变形为：∴a2=15;b2=；又由题意c=4∴c2=a2+b2∴16=15+∴m=15

小结:

1.定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹是双曲线．2.双曲线的标准方程：3.双曲线的图像：xyF1F2POF1F2Pxyo4.双曲线的焦点:(1)F1(-c，0)、F2(c，0)(2)F1(0，c)、F2(0，-c)5.双曲线方程中a、b、c的关系：c2=a2+b2．注意点：(1)双曲线标准方程中a>0,b>0,但a不一定大于b(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上(4)双曲线标准方程中的a,b,c的关系是c2=a2+b2。和焦点位置无关(3)如何在数字问题中鉴别a,b呢？a2项前面的符号是正的；b2项前面的符号是负的。2．根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)焦点在y轴上,焦距为26,并且经过点(0，-12)；

(2)a:b=2:3;双曲线过点3.双曲线