1.4-线性方程组的求解

第一章

行列式和线性方程组的求解

§1.4

线性方程组的求解9.29第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

二.高斯(Gauss)消元法公元前1世纪,《九章算术》:初等行变换

相当于高斯消元法

(高斯-若当方法)Gauss[德](1777~1855)

Jordan[法](1838~1922)

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn

=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs相容,不相容,解集合,同解.

第一章行列式和线性方程组的求解2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/21§1.4线性方程组的求解

对换变换倍乘变换倍加变换阶梯形方程组

例问题：在这几种变换下，变换前后的线性方程组是否同解？第一章行列式和线性方程组的求解2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/212

34

4121

32262轻装上阵

121

32

34

411311/2121

30

12

201

222(1)121

3012200001§1.4线性方程组的求解

第一章行列式和线性方程组的求解x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0(2)121

301220000x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0(2)10

5

101220000x1=5c+1x2=2c2

x3=c其中c为任意实数.Gauss-Jordanreduction§1.4线性方程组的求解

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

三.矩阵及其初等行变换J.J.Sylvester[英]

(1814.9.3~1897.3.15)

A.

Cayley

[英]

(1821.8.16~1895.1.26)

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

1.

sn矩阵

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asn注:今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵.元素都是实数——实矩阵

元素都是复数——复矩阵

行

列

元素

aij(1i

s,1

j

n)

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs2.——系数矩阵

——增广矩阵

(A,b)=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………as1

as2…asn

bsa11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asnA=

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

3.矩阵的初等行变换

(1)对换变换:ri

rj,(2)倍乘变换:ri

k,其中k

0,

(3)倍加变换:ri+krj.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

4.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵A中非零行的数目为A的阶梯数.1100401022000230000411204013220002300000,行阶梯形

注意不是阶梯形矩阵!11004010220202300004

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

则称A为行最简形.

如果阶梯阵A还满足如下条件各非零首元全为1,非零行首元所在列的其余元素全为0,1

0

201013020001000000注:用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵.例如

x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0有唯一解有无数解2

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r(A)=

r(A,b)=3r(A)=

r(A,b)<42x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1无解2

3

41

021

20001r(A)

r(A,b)四.阶梯阵的形状与线性方程组的解线性方程组有解判别定理定理.

设ARmn,bRm,r1=r(A),r2=r(A,b),则

(1)当r2=r1+1

时,Ax=b无解;

(2)当r2

=r1

=n

时,Ax=b有唯一解;(3)当r2=r1

<n

时,Ax=b有无穷多解,且通解中含有

nr1个自由未知量.必相同。要由第二章矩阵的秩和第四章向量组的线性相(无)关性来严格证明.§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

问题：不同的初等行变换所得到的阶梯阵的阶梯数一定相同吗？

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

特殊情形:(齐次线性方程组有非零解的一个充分条件)

定理1.4.当s<n时,齐次线性方程组有非零解,且通解中至少含有ns个自由未知量.a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

…as1x1+as2x2+…+asnxn=0

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

更特殊的情形:a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

…an1x1+an2x2+…+annxn=0a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

更特殊的情形:定理1.5.齐次线性方程组有非零解a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

…an1x1+an2x2+…+annxn=0a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=0.

例.设有线性方程组(1)a为何值时,此方程组有无穷多解?

并求其通解.(2)a为何值时,此方程组无解?

2x3

8x4

=6

x1+2x2+x3+x4

=22x1+4x2+2x3+2x4

=a

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

解:002

8

6121122422

a(1/2)(2)

001

4

3

121120000

a4

12112001

4

3

0000