《空间向量及其运算》试卷（）

《空间向量及其运算》试卷双基达标限时20分钟1．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的棱所在向量中，与向量eq\o(AA′,\s\up6(→))模相等的向量有()．A．0个B．3个C．7个D．9个解析如右图，与向量eq\o(AA′,\s\up6(→))模相等的向量有：eq\o(A′A,\s\up6(→))，eq\o(BB′,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6(→))，eq\o(CC′,\s\up6(→))，eq\o(C′C,\s\up6(→))，eq\o(DD′,\s\up6(→))，eq\o(D′D,\s\up6(→)).答案C2．化简eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))所得的结果是()．\o(PM,\s\up6(→))\o(NP,\s\up6(→))C．0\o(MN,\s\up6(→))解析eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝0.答案C3．下列说法中正确的是()．A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))解析|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．答案B4．对于空间中的非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))，有下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；③|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|；④|eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|.其中一定不成立的是________．解析根据空间向量的加减法运算，对于①：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))恒成立；对于③：当eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))方向相同时，有|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|；对于④：当eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))共线且eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))方向相反时，有|eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|.只有②一定不成立．答案②5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．用eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝________．解析eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→)).答案eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))6．如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为eq\r(5)的所有向量；(3)试写出与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；(4)试写出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量．解(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量eq\o(AA1,\s\up6(→))、eq\o(A1A,\s\up6(→))、eq\o(BB1,\s\up6(→))、eq\o(B1B,\s\up6(→))、eq\o(CC1,\s\up6(→))、eq\o(C1C,\s\up6(→))、eq\o(DD1,\s\up6(→))、eq\o(D1D,\s\up6(→))共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为eq\r(5)，故模为eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→))、eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(A1D,\s\up6(→))、eq\o(DA1,\s\up6(→))、eq\o(BC1,\s\up6(→))、eq\o(C1B,\s\up6(→))、eq\o(B1C,\s\up6(→))、eq\o(CB1,\s\up6(→))，共8个．(3)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)共有eq\o(A1B1,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))，共3个．(4)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up6(→))、eq\o(B1B,\s\up6(→))、eq\o(C1C,\s\up6(→))、eq\o(D1D,\s\up6(→))，共4个．综合提高（限时25分钟）7．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则下列向量相等的是()．\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→))\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).∴应选D.答案D8．空间任意四个点A、B、C、D，则eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()．\o(DB,\s\up6(→))\o(AC,\s\up6(→))\o(AB,\s\up6(→))\o(BA,\s\up6(→))解析eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).答案D9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up6(→))＝______(用a，b，c表示)．解析eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝－a＋b－c.答案－a＋b－c10．已知点M是△ABC的重心，则eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝________．解析设D为AB的中点，则eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→))，又M为△ABC的重心，则eq\o(MC,\s\up6(→))＝－2eq\o(MD,\s\up6(→))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0.答案011．如图，在四棱柱A′B′C′D′－ABCD中，求证：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\o(DD′,\s\up6(→)).证明如图，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))，在四棱柱A′B′C′D′－ABCD中，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(DD′,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\o(DD′,\s\up6(→)).12．(创新拓展)已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OG,\s\up6(→))，求λ的值．解连结CG并延长交AB于D，则D为AB中点，且CG＝2GD，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up