平面向量基本定理shalom

平面向量基本定理及坐标表示12.3.1平面向量的基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算shalom温故知新向量的加法(三角形法则)aba+baba+b向量的加法(平行四边形法则)向量的减法(三角形法则）aba-b向量的数乘运算(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0对实数λ和向量a2.运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb特别地:3.向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa

问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子往哪边运动?问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子往哪边运动?如果是1只大猴子和4只小猴子呢?NMe1e2a如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动,如何改变大小猴子的数量?aCe1e2oBAOC=OM+ON=xe1+ye2给定平面内任意两个不共线向量e1

、e2，其他任一向量是否都可以表示为xe1+ye2的形式？NMaCe1e2oBAOC=OM+ON=xe1+ye2e1e2a如果，是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量

,有且只有一对实数１、２使

＝

１＋２

其中不共线的向量,叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底。平面向量的基本定理oCaNMFE思考:平面内,向量的基底是否唯一？例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2.于是OC就是所求作的向量.(2)作OACB.e1e2OC作法：(1)任取一点o,

作OA=-2.5e1,OB=3e2-2.5e1AB3e2e1e2aNMe1e2oaCOC=OM+ON=xe1+ye2平行四边形做法唯一，所以实数对x,y存在唯一对定理的理解:1)基底:

不共线的向量e1e2。同一平面可以有不同基底2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和的形式；3)分解是唯一的思考:一天,1只住在正西方向的大猴子和住在北偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子往正北运动,要几只小猴子?30°？30°向量的夹角已知两个非零向量a和b如图，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量的夹角当θ=0°时，a与b同向当θ=180°时，a与b反向a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥boBAab共起点ABC思考:正△ABC中,向量AB与BC的夹角为几度?D把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解2.3.2平面向量的正交分解a=xi+yj．有且只有一对实数x、y，使得

分别与x

轴、y

轴方向相同的两单位向量i、j能否作为基底？Oxyij任一向量a，用这组基底可表示为a（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)那么i=（，）j=(，)0=（，）1001002.3.2平面向量的坐标表示OxyijaA(x,y)a1．以原点O为起点作，点A的位置由谁确定?由a唯一确定2．点A的坐标与向量a的坐标的关系？两者相同向量a坐标（x，y）一一对应概念理解3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？2.3.2平面向量的坐标表示解：由图可知同理，例2如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d，并求它们的坐标．AA2A1如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-5ji1234由图可知a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)课堂小结：1.平面向量的基本定理（书本94页）如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数１、２使

a=１

e1+

２e22.向量的夹角：共起点的两个向量形成的角4.向量的坐标表示3.基本定理的应用e1+

μe2=xe1+

ye2把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解。分别与x

轴、y

轴方向相同的两单位向量i、j作为基底，任一向量a，用这组基底可表示为a=xi+yj，（x，y）叫做向量a的坐标2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知a

，b

，求a+b，a-b．解：a+b=(i+j)+(i+j)=（+)i+（+)j即a+b同理可得a-b两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）2.3.3平面向量的坐标运算例3已知．求xyO解：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．2.3.3平面向量的坐标运算例4已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标．解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）

=（-6，19）2.3.3平面向量的坐标运算例5已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．解法1：设顶点D的坐标为（x，y）ABCDxyO例5.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为（-2，1）（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标。ABCDO解：设顶点D的坐标为（x，y）例5.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为（-2，1）（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标。ABCDABCDOO随堂练习坐标是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B标坐标为A、(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)C、(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)CBB标的坐标为(i,j),则点A的坐标为A、(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)C、(m+i,n+j)D、(