正方形的性质与判定（课堂PPT）

第一章特殊平行四边形

第3节正方形的性质与判定（一）1

四边形两组对边分别平行

平行四边形

矩形

菱形

一角为90°

一组邻边相等想一想2你觉得什么样的四边形是正方形呢?3矩形正方形〃〃矩形怎样变化后就成了正方形呢?探究（一）42、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是（填上一个条件即可）有一组邻边相等5探究（二）菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形6

1、要使一个菱形成为正方形需增加的条件是（填上一个条件即可）有一个角是直角7探究小结矩形〃〃正方形邻边相等〃〃发现：一组邻边相等的矩形叫正方形

菱形一个角是直角正方形∟发现：一个角为直角的菱形叫正方形正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形拓展讨论讨论总结:正方形有那些性质?8知识点一：正方形的性质9性质边角对角线对称性图形语言

文字语言

符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等

四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴对称图形中心对称图形10于是我们得到了正方形的两条定理：定理正方形的四个角都是直角，四条边都相等定理正方形的对角线相等且互相垂直平分11想一想：正方形有几条对称轴解析：正方形有4条对称轴.经验层面：可通过折叠.分析层面：正方形具有矩形、菱形的所有性质，所以必然具有矩形过每组对边中点的对称轴和菱形过对角线的对称轴.12二、正方形的性质的应用例1、如图，正方形ABCD中，（1）一条对角线把它分成

个全等的三角形。问：这些三角形是什么三角形？（2）两条对角线把它分成

个全等的

三角形。24等腰直角ABDCO（3）对角线AC与正方形的一边所成的角为

度。4513例2、如图，正方形ABCD中，ABDCO正方形的面积为64平方厘米，则正方形对角线AC=

。8√2cm14性质应用例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：15（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.16(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）.∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.17例

求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO

已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,即∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°

AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO(SAS)18ADCBO

正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论:结论：

分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD

；△AOB、△BOC、△COD、△DOA.19平行四边形矩形菱形正方形正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？20对边平行且相等每条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直对角线互相平分四个角都是直角对角相等四条边都相等性质正方形菱形矩形平行四边形图形小结√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√21知识拓展:与同学讨论后填写下表：边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形

几种特殊四边形的性质对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边都相等对边平行，四条边都相等对角相等，邻角互补

四个角都是直角对角相等，邻角互补

四个角都是