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定积分的换元法

上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。先来看一个例子例1换元求不定积分令则故为去掉根号令则当x

从0连续地增加到4时，t相应地从1连续地增加到3于是尝试一下直接换元求定积分将上例一般化就得到定积分的换元积分公式由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量一、换元公式证应用换元公式时应注意:（1）（2）用)(txj=把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.计算解1由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积解2故o例2令解4令仍可得到上述结果解3解令例3计算定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计将换元公式的左、右两边对调同时把

x

换成

t

，

t

换成

x这说明可用引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限注例4计算解例5计算解原式例6计算解令原式例7计算解原式偶函数奇函数四分之一单位圆的面积定积分的换元法

二、小结1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对应。2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。思考题解令思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是定积分的分部积分公式推导定积分的分部积分法一、分部积分公式解令则例8

计算例9

计算解例10

计算解例11

设求解定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题应用公式的关键是选择u,

v

，次序仍然是

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