第四章一节矩阵的特征值和特征向量

第四章矩阵的特征值和特阵向量本章主要内容一、矩阵的特征值和特征向量二、相似矩阵三、实对称矩阵的对角化第一节矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值和特征向量的概念定义4.1设A是n解矩阵，如果存在数和非零向量，使得则称为A的一个特征值，称为A的属于特征值的特征向量。例如设矩阵不难验证则是A的一个特征值，对应于的特征向量为(4.1)例2求对应的特征值和常数k的值。已知向量是矩阵的特征向量，解设是A的对应于特征值的特征向量，则所以由此得解此方程组，得即当k=1或-2时，是A的特征向量，对应的特征值分别为一般地，为了求出矩阵A的特征值和特征向量，将(4.1)改写为即由于上式说明是齐次线性方程组的非零解。(4.2)而齐次线性方程组(4.2)有非零解的充分必要条件是(4.3)其中称为矩阵A的特阵矩阵，其行列式称为矩阵A的特征多项式，称为矩阵A的特阵方程。则必是特征方程的根。若是A的一个特征值，因此，A的特征值也称为特征根。定理4.1设为n阶矩阵，则是A的特征值，是A的属于的特征向量的充分必要条件是：为特征方程的根，是齐次线性方程组的非零解。推论1即如果则(为任意常数)。如果是A的属于特征值的特征向量，则(为任意常数）也是A属于的特征向量。推论2如果都是A的属于特征值的特征向量，且则也是A的属于的特征向量。即如果，则例3求矩阵的特征值和特征向量和。解矩阵A的特征多项式由此可得A的特征值对于，解齐次线性方程组(E-A)X=0,即①对方程组的系数矩阵施以初等行变换：于是原方程组①与同解。取为自由未知量，得方程组的一个基础解系所以，A的对应于特征值的全部特征向量为(为任意常数)对于，解齐次线性方程组即②类似于方程组①的解，可的方程组②的一个基础解系所以，A的对应于特征值的全部特征向量为(为任意常数)对于n阶矩阵的全部特征值和特征向量的步骤如下：(1)计算特征多项式(2)求特征方程的所有根，即求得A的全部特征值(其中可能有重根或复根)；(3)对于A的每一个实际特征值，求对应的齐次线性方程组的一个基础解系，则A的属于的全部特征向量为其中是不全为零的任意常数。例5求矩阵A的特征值和特征向量，其中解由A的特征多项式(按第1列展开)得A的唯一实特征值对于，解齐次线性方程组得其基础解系所以A的属于特征值的全部特征向量为(为任意常数)。例6求矩阵A的特征值和特征向量，其中解矩阵A的特征多项式由得A的特征值对于解对应的齐次线性方程组可得它的一个基础解系所以，A的属于特征值-1的全部特征向量即(是不全为零的的任意常数)对于，解对应的齐次线性方程组可得它的一个基础解系所以，A的属于特征值8的全部特征向量为()，即(，为任意常数)例7求矩阵A的特征值和特征向量，其中解矩阵A的特征多项式由此可得A的特征值(三重根)。对于特征值解齐次线性方程组即方程组中未知量都是自由未知量，其基础解系是任意三个线性无关的向量。如就是方程组的一个基础解系。所以，A得属于特征值的全部特征向量为(为不全为零的常数)实际上，任一非零的三维列向量都是A的特征向量。例8设是n阶矩阵A的一个特征值，试证(1)是的一个特征值(m为正整数)；(2)若A可逆，则是的一个特征值；(3)对任意数k,是矩阵kE–A的一个特征值。证由已知条件，存在向量有(1)当m=2时，在上式两边左乘A，有即是的一个特征值。假设是矩阵的一个特征值，对应的特征向量为则于是即是的一个特征值。(2)若A可逆，则在两边左乘，有即所以为的一个特征值。(3)由有即所以是的一个特征值。二、特征值和特征向量的性质定理4.2n阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特征值。定理4.3

n阶矩阵A可逆的充分必要条件是其任一特征值不等于零。定理4.4设n阶矩阵A的不同特征值为分别为A的对应于特征值的特征向量，则线性无关，即A的不同特征值对应的特征向量线性无关。定理4.5设n阶矩阵A的相异特征值为A的属于的线性无关的特征向量为则向量组线性无关。定理4.6设n阶矩阵A的特征值为(其中可能有重根、复根)，则n阶矩阵A的主对角线上元素之和称为A的迹。即迹具有以下性质：例9设三阶矩阵A的特征值为矩阵