矩阵与线性方程组

关于矩阵与线性方程组第一页，共二十八页，2022年，8月28日设n元线性方程组为记，第二页，共二十八页，2022年，8月28日利用矩阵的乘法，方程组写成矩阵乘法的形式：Ax=b,其中A为线性方程组的系数矩阵，称x为未知列向量，b为右端常向量。当b=0时，方程组为齐次线性方程组。线性方程组的增广矩阵是一个m×(n+1)矩阵第三页，共二十八页，2022年，8月28日若x1=c1,x2=c2,…,xn=cn是线性方程组的一个解，则它必满足矩阵等式：若记c=(c1,c2,…,cn)T,则上述矩阵等式可简写为：Ac=b.用矩阵的初等行变换求解线性方程组的原理见书中P76第四页，共二十八页，2022年，8月28日问题：证必要性.(),,nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=(),根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而第五页，共二十八页，2022年，8月28日这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR<即充分性.(),nrAR<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解.第六页，共二十八页，2022年，8月28日推论1：含有n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是，且当它有非零解时，必有无穷多个非零解。推论2：若方程组Ax=0中方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有非零解。第七页，共二十八页，2022年，8月28日小结有唯一解bAx=()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=第八页，共二十八页，2022年，8月28日齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；第九页，共二十八页，2022年，8月28日例1

求解齐次线性方程组第十页，共二十八页，2022年，8月28日解第十一页，共二十八页，2022年，8月28日即得与原方程组同解的方程组第十二页，共二十八页，2022年，8月28日由此即得第十三页，共二十八页，2022年，8月28日例2求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换第十四页，共二十八页，2022年，8月28日故方程组有解，且有第十五页，共二十八页，2022年，8月28日所以方程组的通解为第十六页，共二十八页，2022年，8月28日例3

设有线性方程组解第十七页，共二十八页，2022年，8月28日第十八页，共二十八页，2022年，8月28日其通解为第十九页，共二十八页，2022年，8月28日这时又分两种情形：第二十页，共二十八页，2022年，8月28日见书中例1－3（P76－79）第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结第二十二页，共二十八页，2022年，8月28日思考题第二十三页，共二十八页，2022年，8月28日思考题解答解第二十四页，共二十八页，2022年，8月28日第二十五页，共二十八页，2022年，8月28日第二十六页，