高等数学 第十二章 无穷级数

三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法第九章主要内容1编辑ppt

求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散性；求幂级数收敛域；求和函数；函数展开成幂级数.当时为数项级数;当时为幂级数;

为傅立叶级数.为傅氏系数)时,*当对于函数项级数2编辑ppt1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用其它方法判别*积分判别法部分和极限比值审敛法一、数项级数的审敛法3编辑ppt正项级数比较审敛法设与是两个正项级数，且则：⑴若级数收敛，则级数也收敛；⑵若级数发散，则级数也发散.常用来比较的级数：级数当时收敛，当时发散.（1）4编辑ppt例如（2）等比级数例如5编辑ppt极限形式的比较审敛法

设与是两个正项级数，且⑴若则级数与级数同时收敛，同时发散；⑵若

且级数收敛，则级数收敛；⑶若且级数发散，则级数发散.6编辑ppt3.任意项级数审敛法Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,为收敛级数，概念:设且余项若收敛,称绝对收敛,若发散,称条件收敛.7编辑ppt例1判别下列级数的敛散性:解答提示:(1)据极限形式的比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,8编辑ppt利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数收敛再由比较法可知原级数收敛.利用比值判别法,可知原级数

在时发散，时

收敛；时仅当收敛.9编辑ppt例2讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示:(1)P>1

时,绝对收敛;0<p≤1

时,条件收敛;p≤0

时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数收敛,原级数绝对收敛.故10编辑ppt因单调递减,且但所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判别法知级数收敛

;11编辑ppt因=故原级数绝对收敛.12编辑ppt•

标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论处的敛散性.•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法二、求幂级数收敛域的方法13编辑ppt例4求下列幂级数的收敛域

D.1）

∴

解：收敛区间因为所以收敛域14编辑ppt2）

∴解：收敛区间(-1,3).因为所以原级数收敛域为[-1,3).15编辑ppt1）解：∴∴，原级数收敛.例5求下列幂级数的收敛半径R

.16编辑ppt2）

解：

时

收敛

.∴∴17编辑ppt•求部分和式极限•初等变换法:分解、套用公式•

映射变换法（在收敛区间内）逐项求导或求积分难对和式积分或求导求和直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等

数项级数求和三、幂级数和函数的求法

18编辑ppt熟悉常用函数的幂级展开式：

1、2、3、4、19编辑ppt5、等比级数：注意：20编辑ppt例6

求幂级数的和函数.解法1：

先求出收敛区间

则设和函数为21编辑ppt解法2：易求出级数的收敛域为，原式22编辑ppt例7求幂级数的和函数.解:

先求出收敛区间设和函数为x≠0，∴

23编辑ppt显然x=0

时上式也正确,故和函数为而在级数发散,24编辑ppt求例8

的和函数.解：

∵

∴收敛域为（-1，1）.

设

∴

发散，

当，

发散.

当

25编辑ppt解:

原式

=的和

.*例9（直接法)求级数（参见例6，也可用间接法解本题.）26编辑ppt（间接法）求数项级数和：将其转化成幂级数求和函数问题.

原式

推广：，.

例10

求

的和.

27编辑ppt求

∵

∴

，收敛区间为（-1，1）.

代入，发散，

发散.

∴收敛域为（-1，1）

.例11

求

的和.

代入求和:解：设28编辑ppt•间接展开法—利用已知展式的函数及幂级数性质•

直接展开法—利用泰勒公式四、函数的幂级数展开法29编辑ppt熟悉常用函数的幂级展开式：

1、2、3、4、5、等比级数：30编辑ppt例12

1）

2）

3）

4）

∵

∴

∴

31编辑ppt例13

将函数展开成

x

的幂级数.解:32编辑ppt练习题33编辑ppt34编辑ppt35编辑ppt36编辑ppt37编辑ppt38编辑ppt练习题简答一、1.B；2.B；3.B；4