第一章资金时间价值与等值计算

技术经济学郝洪副教授工商管理学院财务与会计系办公室：综合楼302Email:haohong@课程的目的和内容目的使学生掌握投资项目决策的基本理论和方法内容资金的时间价值与等值计算投资项目经济评价指标投资项目经济评价方法投资项目财务分析不确定性分析课程要求及成绩评定要求做好课前预习及课后复习遵守课堂纪律按时完成并递交作业成绩评定平时作业20%期末考试80%第一章资金的时间价值与等值计算教学目的使学生牢固掌握资金时间价值概念，熟悉资金等值换算的各种方法。主要内容现金流量及现金流量图利息及其计算资金时间价值概念资金等值概念等值计算公式现金流量及现金流量图现金流量(Cashflow)投资项目实施和运作过程中由项目直接引起的现金支出和现金收入的数量。现金流入(Cashinflow)现金流出(Cashoutflow)净现金流量(Netcashflow)现金流量及现金流量图例：某人现在有100万元打算购买设备生产某种产品。预计该产品年收入为50万元，年支出为30万元，一年后出售设备可得收入85万元。该投资的现金流为：年份01现金流入CI135现金流出CO10030净现金流量NCF-100105现金流量及现金流量图现金流量图横轴代表时间，横轴上的点称为时点，表示该期期末或下一期期初。与横轴相连的垂直线代表现金流量。箭头向上代表现金流入，箭头向下代表现金流出。在箭头附近注明现金流量的金额。012345610060250利息与利率利息(Interest)利息是指占用资金所付的代价或放弃使用资金所得到的补偿。利率(Interestrate)在一个计息期内所得的利息额与借贷金额之比.单利和复利单利(Simpleinterest)只按借贷的原始本金计算利息。第n期本利和Fn=P(1+i×n)例现在存入100元，存期3年，年利率10%，计算第3年末的本利和以及3年内利息总额。F3=100(1+310%)=130I3=130－100＝30单利和复利复利(Compoundinterest)又称利滚利，是指不仅借贷的原始本金要计算利息，而且每期的利息在下一期转化为本金并计算利息。第n期本利和Fn=P(1+i)n单利和复利复利公式推导计息周期n本利和Fn1F1＝P(1＋i)2F2＝P(1＋i)＋P(1＋i)·i＝P(1＋i)23F3＝P(1＋i)2＋P(1＋i)2·i＝P(1＋i)3………n

Fn＝P(1＋i)n-1＋P(1＋i)n-1·i＝P(1＋i)n单利和复利复利例：现在存入100元，存期3年，年利率10%，计算第3年末的本利和以及3年内利息总额。F3=100(1+10%)3=133.1I3=133.1－100＝33.1单利和复利单利和复利比较(原始本金1元，年利率10%)名义利率和实际利率名义利率(NominalInterestRate)在实际经济活动中，计息周期有年、半年、季、月等多种，但一般均按年利率标价，这种年利率称为名义年利率。如“年利率为12%，每月计息一次”，此处的年利率12%就是名义年利率。名义年利率等于计息期利率与一年中的计息期数的乘积。名义利率和实际利率实际利率(EffectiveInterestRate)当一年内多次复利计息时，按照一年内获得的利息与年初本金之比计算出的实际年利率。例如本金1000元，年利率12%，每月计息一次，一年后的本利和为：

F=1000(1+1%)12=1126.8元年实际利率为：名义利率和实际利率名义利率与实际利率的换算设：r=年名义利率，i=年实际利率

m=一年中的计息期数

r/m=每一计息期利率名义利率和实际利率公式推导一年后本利和为：F＝P(1+r/m)m一年内的利息额为：i＝P(1+r/m)m-P＝P[(1+r/m)m-1]年实际利率为：名义利率和实际利率若计息期为一年，m=1，则i=r若连续计息，m，则：名义利率和实际利率例：名义年利率为12%资金的时间价值与资金等值资金的时间价值(Timevalueofmoney)今天的一元钱比明天的一元钱更值钱。例如：当面临“现在得到100元，或是1年后得到100元”的选择时，你会作出什么决策？资金具有时间价值的原因今天的资金可以进行投资获得投资收益。资金的时间价值与资金等值资金具有时间价值引发的问题不能直接比较不同时间点的货币金额的价值大小。例如：当面临“现在得到100元，或是1年后得到105元”的选择时，你会作出什么决策？如何比较不同时点货币金额的价值利用等值换算，将不同时点的货币金额换算到同一时点进行比较。资金的时间价值与资金等值资金等值(Equivalence)在考虑资金时间价值的情况下，发生在不同时点的资金如果具有相同的价值，则为等值的资金。例如，现在的1000元，在年利率为10%时，等值于一年后的1100元。可以说“今天的1000元与一年以后的1100元是等值的”。等值换算把在一个时点发生的资金金额换算成另一时点的等值金额的过程称为等值计算。等值换算采用复利计息的方式。资金的时间价值与资金等值复利终值(Futurevalue)终值又称将来值，是指现在的一笔资金在未来一段时间后所具有的价值。F＝P(1＋i)nF—终值P—现值i—利息率n—计息期数资金的时间价值与资金等值假设年利率为10%，则现在的1000元在以后各年的等值金额可计算如下：1F＝P(1＋i)＝1000×(1+0.1)＝1100时点n（年）

等值F2F＝P(1＋i)2＝1000×(1+0.1)2＝12103F＝P(1＋i)3＝1000×(1+0.1)3＝133110F＝P(1＋i)10＝1000×(1+0.1)10＝2593.70F＝1000资金的时间价值与资金等值例：给你一次选择机会，你可以现在获得1000元，也可以在5年以后的今天获得1300元，你将做何种选择？假定年利率为8%F＝P(1＋0.08)5＝1000(1+0.08)5＝1469.33因为1469.33>1300，所以应该选择现在的1000元。资金的时间价值与资金等值复利现值(Presentvalue)现值是指未来的资金金额现在的价值。折现或贴现(Discounting)把将来某一时点的资金金额换算成现在时点的等值金额的过程。资金的时间价值与资金等值例：给你一次选择机会，你可以现在获得1000元，也可以在5年以后的今天获得1300元，你将做何种选择？假定年利率为8%P＝F/(1＋0.08)5＝1300/(1+0.08)5＝884.76因为884.76<1000，所以应该选择现在的1000元。资金的时间价值与资金等值资金等值概念的意义利用等值概念，通过等值计算，可以知道某一时点上的资金金额在其他时点上的价值。可以把不同时点发生的资金金额换算到同一时点进行价值比较。等值计算公式复利终值公式复利现值公式年金终值公式年金现值公式偿债基金公式资本回收公式等差序列现金流公式等比序列现金流公式复利终值公式已知现值P，利率i，计息期数n，求终值F。(1+i)n=(F/P,i,n)，称为复利终值系数复利终值公式例：在下列情况下计算1000元按年复利计息的终值：年利率5%，期限10年F=1000(1+5%)10=1629年利率7%，期限10年F=1000(1+7%)10=1967年利率5%，期限20年F=1000(1+5%)20=2653复利现值公式已知终值F，利率i，计息期数n，求现值P。(1+i)-n=(P/F,i,n)，称为复利现值系数复利现值公式例：某公司估计要在27年后一次付出养老金150万元，若公司可投资于利率为8%的无风险证券，那么现在应投资多少钱才能够在27年后偿付养老金？F=150,i=8%,n=27复利现值公式例某人赢得了博彩奖。博彩公司允许其在下面两种领奖方式中选择一种：选择一：一年后领取10,000元；选择二：五年后领取20,000元。在下述折现率下，他应该选择哪一种方式？0%10%20%使这两种方式没有差别的折现率是多少？复利现值公式折现率为0%一年后10,000元的现值＝10,000五年后20,000元的现值＝20,000折现率为10%一年后10,000元的现值＝10,000/1.1=9,090.91五年后20,000元的现值＝20,000/1.15=12,418.43折现率为20%一年后10,000元的现值＝10,000/1.2=8,333.33五年后20,000元的现值＝20,000/1.25=8,037.55使这两种方式没有差别的折现率10,000/(1+i)=20,000/(1+i)5，i=18.92%年金(Annuity)公式年金是指一定时期内每期金额相等的现金流量。AAn12n-1A0A年金终值公式已知年金A，利率i，计息期数n，求终值F。年金终值公式年金终值公式例：某人从现在开始的三年内每年年末存入银行1000元，存款利率为10%，复利计息，计算第三年年末该人银行账户的余额。年金终值公式例：假如你在以后的四年中每年年末存入银行1,000元。若银行年利率为12%，试问第七年末银行存款账户的余额是多少？年金现值公式已知年金A，利率i，计息期数n，求现值P。年金现值公式例：某人为了在以后3年内每年年末可以从提取1000元，假设存款年利率为10%，复利计息，问该人现在应该存入多少钱？年金现值公式例：某人赢得博彩奖。此人从赢奖当天开始能够连续20年每年领取50,000元。若年利率为8%，这笔奖金的现值是多少？（先付年金）AAn12n-1A0A年金现值公式例：若年利率为10%，一项资产价格为5,000元，在以后8年中该资产每年能产生1,200元现金流，那么你会购买这项资产吗？计算该资产产生的未来现金流的现值P=1,200(P/A,10%,8)=1,200(5.335)=6,402因为6,402>5,000，所以应该购买。年金现值公式永续年金(Perpetuity)现值公式年金现值公式例：某公司的股票每年支付的股利保持不变，年股利为3元/股，贴现率为15%，计算该股票的现在价值。偿债基金(SinkingFund)公式已知终值F，利率i，计息期数n，求年金A。偿债基金公式例：某人5年后需要10万元，他准备从现在起每年向银行存入一笔等额金额，已知存款年利率为5%，复利计息，问每年的等额存款是多少？资本回收(CapitalRecovery)公式已知现值P，利率i，计息期数n，求年金A。资本回收公式例：某人以分期付款的方式买下一套价值20万元的房子，年利率为8%，付款期限为15年，每年付款额相等，问此人每年需要付多少钱？等差序列现金流公式等差序列现金流321n2G0G(n-1)G等差序列现金流终值公式等差序列现金流现值公式等差序列现金流现值公式例：某人计划现在存入一笔钱以满足以后5年每年的消费需要。他预计第一年需要5,000元，以后各年均在上一年的基础上增加500元。如果年利率为10%，计算此人现在应存入多少？已知：A=5,000，G=500，n=5，i=10%等比序列现金流公式等比序列现金流（增长年金GrowthAnnuity）123A(1+h)20A(1+h)nAA(1+h)n等比序列现金流现值公式等比序列现金流现值公式例：某毕业生刚得到一份工作，第一年的工资是50,000元。他预计他的工资每年增长9%，直到40年后退休。如果年利率为20%，他工作期间工资的现值是多少？等比序列现金流现值公式永续增长年金(n)等比序列现金流现值公式例：预计某公司股票下一年的股利为2元/股，预计股利增长率为5%，该公司股票的贴现率为13%，计算该股票的现在价值。等值计算公式小结已知P,i,n，求F:F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)已知F,i,n，求P:P=F/(1+i)n=F(P/F,i,n)已知A,i,n，求F:F=A[(1+i)n-1]/i

=A(F/A,i,n)已知A,i,n，求P:P=A[(1+i)n-1]/[i(1+i)n]=A(P/A,i,n)举例若名义利率为8%，在下述几种方式下，1,000元的存款三年之后的复利终值是多少？每年计息一次i=8%,F=1000(1+8%)3=1259.71半年计息一次i=(1+4%)2-1=8.16%,F=1000(1+8.16%)3=1265.32每月计息一次i=(1+.08/12)12-1=8.30%,F=1000(1+8.30%)3=1270.23连续计息i=e0.08-1=8.33%,F=1000(1+8.33%)3=1271.25举例计算在下述条件下得到的100元的现值。10年末，贴现率为1%；P=100(P/F,1%,10)=90.5310年末，贴现率为13%；P=100(P/F,13%,10)＝29.4615年末，贴现率为25%。P=100(P/F,25%,15)＝3.52举例计算下述条件下100元年金的现值。1到20年，贴现率为23%；P=100(P/A,23%,20)=100(4.2786)=427.861到5年，贴现率为3%；P=100(P/A,3%,5)=100(4.5797)=457.973到12年，贴现率为9%。P=100(P/A,9%,10)(P/F,9%,2)=100(6.4177)(.8417)=540.16举例如果利率为8%，你需要现在存款多少才能得到下述现金流？每年100,000元的年末永续年金；P=100000/.08=1,250,000第1年末100,000元，以后每年增长4%的永续增长年金；P=100,000/(.08-.04)=2,500,000每年100,000的年末年金，连续20年。P=100000(P/A,8%,20)=981,915举例作为某种彩票的中奖者，你可以选择以下奖金方式：1.现在得到100,000元；2.第5年末得到180,000元；3.每年得到11,400元，直到永远；4.连续10年每年年末得到19,000元；5.下一年得到6,500元，以后每年增长5%，直到永远。如果利率为12%，哪种方式最有价值？1.P=100,0002.P=180,000(P/F,12%,5)=180,000(.5674)=102,1373.P=11,400/.12=95,0004.P=19,000(P/A,12%,10)=19,000(5.650)=107,3545.P=6,500/(.12-.05)=92,857举例假定年利率为10%，计算下述几种现金流的现值。一年以后开始，每年支付1,000元直到永远；P=1000/.1=10000两年之后开始，每年支付500元直到永远；P=(500/.1)/1.1=4545.45三年之后开始，每年支付2,420元直到永远。P=(2420/.1)/1.12=20000举例例：某人连续10年每年年初存入银行1000元，年利率10%，半年复利计息一次，计算10年末此人存款的本利和是多少？（17783）方法1：计算年实际利率。i=(1+.05)2-1=10.25%F=1000(F/A,10.05%,10)(1+10.05%)=1000(16.130)(1.1025)=17,783方法2：将先付年金换算为半年一次的等额支付。F=1000(A/P,5%,2)(F/A,5%,20)=1000(0.5378)(33.066)=17,783举例假定今天你存入银行10万元，年利率5%，从第4年年末开始连续6年每年年末从银行取出相等的金额，使得存款账户余额为0。问每年取出的金额是多少？（22807）方法：复利终值、年金现值或终值A=10(F/P,5%,3)(A/P,5%,6)=10(1.1576)(0.1970)=2.28举例在你出生时，你的父母决定在你的每一个生日为你存款1,000元，直到18岁，作为你上大学的费用。但是你的父母在你7岁和11岁时没有存款。如果你从19岁开始，连续4年从此账户中提取相等的金额，计算你每年最多能提款多少？假设年利率为5%。（7054）年金终值，资本回收A=1000[(F/A,5%,18)-(F/P,5%,11)-(F/P,5%,7)](A/P,5%,4)=1000[(28.132)-(1.710)-(1.407)](0.2820)=7,054举例某人与保险公司订立了一份养老保险合同。合同规定此人现在支付保险公司100,000元，在此后的15年中保险公司每年末付给他10,000元，问保险公司提供的年利率是多少？（5.57%）方法：利用年金现值公式，插值计算100000=10000(P/A,i,15)(P/A,i,15)=10(P/A,5%,15)=10.380,(P/A,6%,15)=9.712i=5%+[(10.380-10)/(10.380-9.712)](6%-5%)=5.57%举例某人希望拥有100,000元的存款，为了实现这一目标，他计划从现在开始每年年初存入5,000元，年利率为8%，问需要多少年？（11.8）方法：先付年金终值5000(F/A,8%,n)(1+8%)=100000(F/A,8%,n)=18.51851.08n=(18.5185)(.08)+1=2.4815n=ln2.4815/ln1.08=11.81举例假设你的孩子