数项级数的基本概念及性质

无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数（泰勒级数）傅里叶级数第十一章1精选课件

第十一章第一节数项级数的基本概念及性质二、收敛级数的基本性质一、数项级数的基本概念机动目录上页下页返回结束2精选课件一、常数项级数的概念引例1.

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0

表示即内接正三角形面积,ak

表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动目录上页下页返回结束3精选课件机动目录上页下页返回结束引例2.引例3.4精选课件定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.次相加,简记为机动目录上页下页返回结束5精选课件当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散。显然机动目录上页下页返回结束则称无穷级数收敛，

并称S为级数的和，记作：6精选课件级数与数列有着密切的关系：机动目录上页下页返回结束7精选课件无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形。如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”。机动目录上页下页返回结束8精选课件观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推播放机动目录上页下页返回结束9精选课件周长为:面积为第次分叉：机动目录上页下页返回结束10精选课件于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积有限。机动目录上页下页返回结束雪花的周长无限。11精选课件解：机动目录上页下页返回结束?12精选课件解：机动目录上页下页返回结束“拆项相消”13精选课件例2.

判别下列级数的敛散性:解:所以级数(1)发散;机动目录上页下页返回结束利用“拆项相消”求和14精选课件故原级数收敛,其和为机动目录上页下页返回结束解1:15精选课件故原级数收敛,其和为机动目录上页下页返回结束解2:16精选课件解:

收敛机动目录上页下页返回结束

发散17精选课件

发散

发散综上所述机动目录上页下页返回结束右图给出了几何级数的一个几何解释:由三角形的相似18精选课件机动目录上页下页返回结束19精选课件机动目录上页下页返回结束证明:被去掉所有区间的总长度为为几何级数事实上:所有被去掉所有区间的端点都是Cantor

集中的点.20精选课件机动目录上页下页返回结束证明:被去掉所有正方形的总面积为21精选课件证明1：级数发散。机动目录上页下页返回结束22精选课件证明2：机动目录上页下页返回结束23精选课件8项4项2项2项

项证明3：机动目录上页下页返回结束24精选课件证明4：机动目录上页下页返回结束即所以故调和级数发散25精选课件机动目录上页下页返回结束26精选课件二、基本性质机动目录上页下页返回结束27精选课件说明:（1）若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.（2）若二级数都发散,不一定发散.例如(用反证法可证)机动目录上页下页返回结束28精选课件解机动目录上页下页返回结束29精选课件机动目录上页下页返回结束30精选课件证明:

类似地，可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.机动目录上页下页返回结束31精选课件说明：机动目录上页下页返回结束32精选课件证明:机动目录上页下页返回结束对其任意加括号，例如33精选课件机动目录上页下页返回结束说明：

收敛

发散

性质4的逆命题不成立，即发散级数加括弧后可能变成收敛级数。34精选课件例7.判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.机动目录上页下页返回结束35精选课件三、收敛的必要条件证明性质5（级数收敛的必要条件）:机动目录上页下页返回结束36精选课件注意1.如果级数的一般项不趋于零，则级数发散;

发散2.此结论的逆不成立。机动目录上页下页返回结束即：一般项趋于零，级数未必收敛。37精选课件四、柯西收敛准则*定理：柯西(Cauchy)收敛准则机动目录上页下页返回结束38精选课件解:机动目录上页下页返回结束39精选课件机动目录上页下页返回结束证明：由柯西收敛准则40精选课件机动目录上页下页返回结束则由柯西收敛准则，知41精选课件证明：

例10.机动目录上页下页返回结束42精选课件五、内容小结一、常数项级数的基本概念和性质。二、判断级数是否收敛的方法：机动目录上页下页返回结束43精选课件作业习题10-1(P340)

1；2(3)(5)(6)(9)；

3(1);5;机动目录上页下页返回结束44精选课件解已知级数为几何级数，机动目录上页下页返回结束备用题:45精选课件解:几何级数机动目录上页下页返回结束46精选课件3、判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.机动目录上页下页返回结束47精选课件因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)机动目录上页下页返回结束48精选课件这说明原级数收敛,其和为3.(3)机动目录上页下页返回结束49精选课件观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推机动目录上页下页返回结束50精选课件观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推机动目录上页下页返回结束51精选课件观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推机动目录上页下页