名师课件：高中数学人教A版 必修 第二册 复数的加减运算及其几何意义

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义

运算是“数”的主要的功能，复数与不同实数，它是由实部、虚部以及虚数单位三部分复合构造而成的整体，那么它如何进行运算呢？我们就来看一下简单的复数运算——复数的加法、减法．为了进一步的学习，我们将数的集合扩展到了复数集合.实部虚部情境导入1.复数的加法、减法运算法则；2.复数的加、减法运算律；3.复数的加、减法运算的几何意义.1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;2.数学运算：复数加、减运算及其几何意义求相关问题;3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.课标目标素养目标

我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：

a+b=b+a

ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a(b+c)=ab+ac

那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？探究点1复数的加法课堂探究【复数的加法】我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i.说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致;（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.（1）因为z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,

所以z1+z2=z2+z1

探究点2复数的加法满足交换律、结合律（2）因为(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,所以

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)所以，对任意z1,z2,z3

C,有

z1+z2=z2+z1（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）探究点3复数与复平面内的向量有一一对应关系

我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？Oz1(a,b)z2(c,d)zxy设,，分别与复数a+bi,c+di对应=（a,b）=(c,d)+=（a+c,b+d）与复数(a+c)+(b+d)i对应复数的加法可以按照向量的加法来进行xoyz1(a,b)z2(c,d)z(a+c,b+d)z1+z2=Oz1+Oz2=Oz符合向量加法的平行四边形法则.【复数加法运算的几何意义】探究点4复数的减法

类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有c+x=a,d+y=b,因此

x=a-c,y=b-d所以

x+yi=(a-c)+(b-d)i即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i【复数的减法】

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i说明：两个复数的差是一个确定的复数.xoyz1(a,b)z2(c,d)复数z2－z1向量z1z2符合向量减法的三角形法则.探究点5.复数减法运算的几何意义|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点z1,z2的距离例1

计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=（5-2-3）+（-6-1-4）i=-11i例2

计算(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i)解：原式=（1+2-4）+（-3+5+9）i=-1+11i例3根据复数及其运算的几何意义.求复平面内的两点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)之间的距离.分析：由于复平面的点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i,z2=x2+y2i，由复数减法的几何意义知，复数z2－z1对应的向量z1z2，从而点Z1，Z2之间的距离为|z1z2|=|z1-z2|.解：因为复平面的点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i,z2=x2+y2i，所以Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|

=|z1z2|=|z1-z2|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|=.A.一条直线B.两条直线C.圆D.其他CD当堂达标3.|z1|=|z2|平行四边形OABC是

.4.|z1+z2|=|