2023年广东中考数学总复习：第2部分-专题突破-专题十二-圆的综合题

专题十二圆的综合题考情分析6年5考，2023～2023年均在第24题出现，且分值均为9分．重点考查切线的判定和性质，涉及圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、弧长的计算等．预计在2023年仍是重点考查内容．例如图1，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2＝AF·AC.图1(1)求证：△ABM≌△EBM；(2)求证：FB是⊙O的切线；(3)假设cos∠ABD＝eq\f(3,5)，AD＝12.求四边形AMEN的面积S.方法总结切线的判定主要有两条途径：1.圆心到直线的距离等于半径；2.证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径．注意：1假设圆心与切点无连线，需先作辅助线；2.解题过程中一般会涉及到全等三角形、相似三角形的判定与性质，常利用圆周角定理和切线的性质得到角的大小或角之间的等量关系，利用两弧相等得到线段或角度相等．训练1.如图2，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E.图2(1)求证：∠BME＝∠MAB；(2)求证：△BME∽△BAM；(3)假设BE＝eq\f(18,5)，sin∠BAM＝eq\f(3,5)，求线段AM的长．2.如图3，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO.图3(1)求证：△ADB∽△OBC；(2)假设∠OCB＝30°，AB＝2，求劣弧AD的长；(3)连接CD，试证明CD是⊙O的切线．3．如图4，等边三角形ABC，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN＝AM，连接CN，MN，解答以下问题：图4(1)猜测△CMN的形状，并证明你的结论；(2)请你证明CN是⊙O的切线；(3)假设等边三角形ABC的边长是2，求AD·AM的值．4.如图5，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB及CB延长线交于点F，M.图5(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)假设点G为MF的中点，求证：BG是⊙O的切线；(3)假设AD＝4，CM＝9，求四边形ABCD的面积．5．，⊙O经过矩形ABCD的四个顶点，过点B作BK⊥AC，垂足为K，过点D作DH∥KB，DH分别与AC，AB，⊙O及CB的延长线相交于点E，F，G，H.(1)如图6，求证：AE＝CK；(2)如图7，连接AH，GB，假设F是EG的中点，求证：四边形BKEG为矩形；(3)在(2)的条件下，求出tan∠HAC的值．图6图76.如图8，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.图8(1)求证：AE＝BF；(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF；(3)假设AE＝1，EB＝2，求DG的长．参考答案例(1)证明：∵AB是直径，∴∠BAC＝90°.∴MA⊥AB.∵ME⊥BE，BM平分∠ABC，∴AM＝ME.∵在Rt△BMA和Rt△BME中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BM＝BM，,MA＝ME，))∴△ABM≌△EBM.(2)证明：∵AB2＝AF·AC，∴eq\f(AB,AF)＝eq\f(AC,AB).又∠BAF＝∠BAC＝90°，∴△BAF∽△CAB.∴∠C＝∠FBA.∴∠ABC＋∠FBA＝∠ABC＋∠C＝90°，即BC⊥BF.又BC为⊙O的直径，∴FB为⊙O的切线．(3)解：在Rt△ABD中，∵cos∠ABD＝eq\f(3,5)，AD＝12，∴sin∠ABD＝eq\f(4,5)，tan∠ABD＝eq\f(4,3).∴BD＝eq\f(AD,tan∠ABD)＝9，AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝15，AC＝AB·tan∠ABD＝20，BE＝AB＝15，DE＝BE－BD＝6.由(1)知△MEC∽△ADC，设ME＝x，那么eq\f(ME,AD)＝eq\f(MC,AC)，即eq\f(x,12)＝eq\f(20－x,20)，解得x＝eq\f(15,2)，即ME＝eq\f(15,2).∵∠AMN＋∠ABM＝90°，∠BND＋∠DBN＝90°，又∠ABM＝∠DBN，∠ANM＝∠BND，∴∠ANM＝∠AMN.∴AN＝AM＝ME.∵AN∥EM，∴四边形AMEN是平行四边形．∴S＝ME·DE＝eq\f(15,2)×6＝45.训练1.(1)证明：如图1，连接OM，图1∵直线CD切⊙O于点M，∴∠OMD＝90°.∴∠BME＋∠OMB＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°.∴∠AMO＋∠OMB＝90°.∴∠BME＝∠AMO.∵OA＝OM，∴∠MAB＝∠AMO.∴∠BME＝∠MAB.(2)证明：由(1)得，∠BME＝∠MAB，∵BE⊥CD，∴∠BEM＝∠AMB＝90°.∴△BME∽△BAM.(3)解：由(1)得，∠BME＝∠MAB，∵sin∠BAM＝eq\f(3,5)，∴sin∠BME＝eq\f(3,5).在Rt△BEM中，∵BE＝eq\f(18,5)，∴sin∠BME＝eq\f(BE,BM)＝eq\f(3,5).∴BM＝6.在Rt△ABM中，∵sin∠BAM＝eq\f(3,5)，∴sin∠BAM＝eq\f(BM,AB)＝eq\f(3,5)，∴AB＝6×eq\f(5,3)＝10.根据勾股定理得，AM＝eq\r(AB2－BM2)＝8.2．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.∵AD∥CO，∴∠A＝∠BOC.∴△ADB∽△OBC.(2)解：如图2，连接OD，图2由(1)知，△ADB∽△OBC，∴∠ABD＝∠OCB＝30°.∴∠DAB＝60°.∵AO＝OD，∴△AOD是等边三角形，∠AOD＝60°.∵AB＝2，∴AO＝1.∴eq\x\to(AD)的长为eq\f(60·π·1,180)＝eq\f(π,3).(3)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AD∥CO，∴∠DFO＝90°.∵∠ODB＝∠OBD，∴∠DOF＝∠BOF.∵OD＝OB，OC＝OC，在△ODC和△OBC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(OD＝OB，,∠DOF＝∠BOF，,OC＝OC，))∴△ODC≌△OBC(SAS)．∴∠CDO＝∠CBO＝90°.∴OD⊥DC.∵OD是半径，∴CD是⊙O的切线．3．(1)解：△CMN是等边三角形；证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝AB，∠ACB＝60°.在△BCN与△ACM中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝AC，,∠CBN＝∠CAM，,BN＝AM，))∴△BCN≌△ACM.∴CN＝CM，∠BCN＝∠ACM.∴∠BCN－∠ACN＝∠ACM－∠ACN，即∠MCN＝∠ACB＝60°.∴△CMN是等边三角形．(2)证明：如图3，连接OA，OB，OC，图3在△BOC与△AOC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(OA＝OB，,AC＝BC，,OC＝OC，))∴△BOC≌△AOC.∴∠ACO＝∠BCO＝eq\f(1,2)ACB＝30°.∵∠ACB＝∠MCN＝60°，∴∠ACN＝60°.∴∠OCN＝60°＋30°＝90°.∴OC⊥CN.∵OC是半径，∴CN是⊙O的切线．(3)解：∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ABC.∵∠BAD＝∠MAB，∴△ABD∽△AMB.∴eq\f(AB,AM)＝eq\f(AD,AB).∴AD·AM＝AB2＝22＝4.4．(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.在Rt△ADC和Rt△CBA中，AC＝CA，AD＝CB，∴Rt△ADC≌Rt△CBA.∴∠CAD＝∠ACB.∴AD∥BC.又AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．(2)证明：如图4，连接OB，图4在Rt△MBF中，G是MF的中点，∴BG＝eq\f(1,2)MF＝FG.∴∠GBF＝∠GFB＝∠AFE.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.∵DG⊥AC，∴∠AFE＋∠OAB＝90°.∴∠GBF＋∠OBA＝90°，即OB⊥BG.∵OB是半径，∴BG是⊙O的切线．(3)解：由(1)得四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCM＝90°.又AC⊥DG，∴∠CDM＋∠ACD＝90°，∠CDM＋∠M＝90°.∴∠ACD＝∠M.又∠ADC＝∠DCM，∴△ACD∽△DMC.∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(DC,CM).∴DC2＝AD·CM＝36.∴DC＝6.∴S矩形ABCD＝AD·CD＝24.5．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAE＝∠BCK.∵DH∥KB，∴∠HEK＝∠BKC＝∠AED＝90°.在△AED和△CKB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠AED＝∠CKB，,∠DAE＝∠BCK，,AD＝CB，))∴△AED≌△CKB(AAS)．∴AE＝CK.(2)证明：∵∠BAD＝90°，∴∠BGD＝∠BAD＝90°.∵∠BKC＝90°，∴∠BKE＝90°.又DH∥KB，∴∠HEK＝∠BKE＝∠BGD＝90°.∴四边形BKEG为矩形．(3)解：在△AEF和△BGF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠AEF＝∠BGF＝90°，,EF＝GF，,∠AFE＝∠BFG，))∴△AEF≌△BGF(ASA)．∴AE＝BG，AF＝BF.∴AE＝BG＝EK＝CK.∵BK∥EH，∴CK∶EK＝CB∶HB.∴CB＝HB.∵∠ABC＝90°，∴AB是CH的垂直平分线．∴AH＝AC＝3AE.在△AHE中，∠AEH＝90°，∴AE2＋EH2＝AH2.∴EH＝2eq\r(2)AE.∴tan∠HAC＝eq\f(EH,AE)＝2eq\r(2).6．(1)证明：如图5，连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°.图5∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC.∴AD＝DC＝BD＝eq\f(1,2)AC，∠CBD＝∠C＝45°.∴∠A＝∠FBD.∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°.∴∠FDB＋∠BDG＝90°.∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB.在△AED和△BFD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠FBD，,AD＝BD，,∠EDA＝∠FDB，))∴△AED≌△BFD(ASA)．∴AE＝BF.(2)证明：如图5，连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF.∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形．∴∠DEF＝45°.∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF.∴GB∥EF.(3)解：∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1.在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴EF2＝EB2＋BF2.∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).∵△DEF为等腰直角三角形