自控原理(6)讲课教案

自控原理(6)U2U1R2R1C①电路形式

②传递函数

其中：

若通过提高放大器的放大系数来补偿网络对开环放大系数的衰减，

---------时间常数；---------分度系数（a＞1）因此，无源超前网络的传递函数为

AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法③特点

i)采用超前网络进行串联校正时，将会使得整个系统的开环增益下降a倍，故需要提高放大器的增益来弥补；ii)因④无源超前网络Gc(s)的对数频率特性

φc(ω)=arctg(aωT)－arctg(ωT)

即改变a,T时可以改变Gc(s)的零点与极点在负实轴上的位置。AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法分析φc(ω)的当单调性：

因又，由于a＞1，所以

Lc（ωm）=10lga且当1-

aT2ω2＞0,即当1-

aT2ω2＜0,即故当时,

φc（ω）单调上升；

时,

φc（ω）单调下降；

时，φc（ω）具有极大值φm（ωm）。

---称为最大超前角频率---称为最大超前角AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法[20]故无源超前网络Gc（s）的对数频率特性曲线为⑤结论：

i)、在网络的整个特性内即ω∈（0，∞）内，输出信号比输入信号的相角都是超前的，且在ω∈（1/aT，1/T）内超前明显，即微分作用最强；

ωmωφm1/aT1/T

ω20lga10lga0L(ω)都仅由分度系数a决定，且最大超前角频率ωm是ω1=1/aT和ω2=1/T的几何中心；ii)及AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法iii)分度系数a的值（一般a≤20）越大，超前网络的微分作用越强。

2)无源迟后网络：

①电路形式

U2U1R2R1C②传递函数

因此，无源迟后网络的传递函数为

其中---------时间常数---------分度系数（b＜1）

AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法③无源迟后网络Gc（s）的对数频率特性

时，φc(ω)具有极大值φm(ωm)。此时的频率称为最大迟后角频率ωm

：

Lc(ωm)=10lgb故无源迟后网络Gc（s）的对数频率特性曲线为:

因为当相应地[-20]ωmωφm1/T1/bTω010lg

b20lg

b

AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法④结论：

i)在网络的整个特性内即ω∈（0，∞）内，输出信号比输入信号的相角都是迟后的，且在ω∈（1/T，1/bT）内迟后明显，即积分作用最强；都仅由分度系数b决定，且最大迟后角频率ωm是ω1=1/T和ω2=1/bT的几何中心；及Lc(ωm)=10lgbii)iii）分度系数b的值一般根据下式确定：

1/bT=0.1ωc″其中ωc″为校正后的系统开环截止频率。3)无源迟后-超前网络：

①电路形式

C1U2U1R2R1C2AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法其中：

Ta=R1C1

；Tb=R2C2；Tab=R1C2

设GC（S）可以化为如下形式：

②传递函数

则有T1

T2=Ta

Tb

及

T1+T2=Ta+Tb+Tab

若设T1＞Tb，且则α

>1,T1=α

Ta,T2=1/(αTb)AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法故有：

所以T1＞Ta＞Tb＞T2即：1/αTa

＜1/Ta＜1/Tb

＜α

/Tb

可知，无源迟后-超前网络传递函数的前一部分Gc1(s)为迟后校正，后一部分Gc2(s)为超前校正。③无源迟后-超前网络GC（s）的对数频率特性[20][-20]

ω900-901/αTa1/Ta1/Tb

α/Tb

ω0-20lgα

比较无源超前网络

及无源迟后网络

AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法④结论：

i)在低频部分，幅频曲线具有负斜率、负相移，相角是迟后的，起迟后校正作用；在高频部分，幅频曲线具有正斜率、正相移，相角是超前的，起超前校正作用；ii）在只有迟后校正或超前校正难以满足系统的稳态和动态性能要求时，才考虑采用迟后-超前网络来校正系统。2.有源校正装置常用的有源校正装置有：PI、PD、PID及滤波型调节器等；

其中主要了解PID控制器的硬件结构及调整、使用方法。§6.3串联校正(频域法校正)4)其它常用无源校正网络的电路图、传递函数及相应的对数幅频特性参见教材P253“表6-1常用无源校正网络”。系统性能指标以频域特征量来表征时,校正系统常采用频域方法。校正方法：串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正等。AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法1.串联校正装置的设计要根据系统的控制性能指标要求，确定系统的校正方式、校正装置的形式与参数等。

一般而言，在Bode图中：

低频段相应地，校正的目标：低频段：开环增益充分大，以满足ess要求；串联校正:即校正装置串接在要校正系统的前向通道中的校正方式。校正装置的设计主要有两种方法：分析法和综合法。（P258）开环频率特性的闭环系统中。中频段高频段→稳态性能→动态性能→噪声抑制能力中频段：Bode图的斜率控制在-20dB/dec，以保证合适的γ；高频段：增益尽快减小，以削弱噪声的影响。AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法2.串联超前校正(利用超前网络或PD控制器的相角超前特性)

串联超前校正的设计步骤：

(1)、根据ess要求，确定开环增益K；

(2)、计算未校正系统的相角裕度γ；(4)、验证已校正后的系统相角裕度γˊ等是否达到要求；(3)、根据要求的系统截止频率

，计算出超前网络的参数a和T；并选取

，以保证系统的响应速度，充分利用网络的相角超前特性。此时，应有：而

可从图中读出，因此根据上式及

计算出a及T。从而可确定校正装置的传递函数Gｃ(ｓ)；其中φm----超前网络最大相角根据是：是否成立。----未校正系统在处的相角裕度

AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法(5)、根据超前网络的参数，确定网络中各元件参数(数值)。

C（S）R（s）

Ks（s+1）解：1)系统为单位反馈、Ⅰ型、且r(t)=t，则有若上式不成立，则需提高

，再重复(3)--(4)步骤。

例题1设某系统结构如下，要求系统在单位斜坡输入时，位置输出稳态误差ess≤0.1,开环系统截止频率≥4.4rad/s,相角裕度

≥45º,幅值裕度。试以此要求设计串联无源超前网络。（教材P259例题6-3）ess=1/K

≤0.1即K

≥10选取K

=10,则可确定未校正系统的开环传递函数为：10G（s）=s（s+1）AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法2)根据G（s）求得G（jω）并绘制Bode图于图中（红色曲线）：

一个交接频率ω1=1；φ（ω）=－90º－arctgω

0.11210100[-20][-40]40200L(ω)3)未校正系统的截止频率ωc

及稳定裕度γ与h:γ=180º+φ(ωc)=180º+(－90º－arctgωc)=17.6º

h=∞因为(φ(ωx)=-180º时,ωx=∞可推得二阶系统的h=∞)且ω=1时，L(ω)=20lgK=20lg10=20AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法4)确定校正方案

γ小的原因是由于中频段（即ωc附近）的斜率为－40（过大）所致，故采用串联超前校正。5)选取对应于ω=4.4rad/s时的幅值为由于又因为因此，可确定超前网络的传递函数为：

所以10lga=6故a≈4

故6)开环增益的补偿

由于超前网络的引入，使得整个系统的开环增益降低了4倍，为补偿这一衰减，可将系统中放大器的放大系数提高4倍，方可保证系统的ess要求。

AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法7)校正后系统的开环传递函数应为：8）根据Gc（s）G（s）绘制校正后系统的Bode图（蓝色）

ω1ˊ=1；ω2ˊ=2.2；ω3ˊ=8.8；ωcˊ=4.4[-40]0.11210100[-20][-40]40200L(ω)[-20][-40]ωAutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法未校正时Gc（s）对应的φm=arctg4.4×0.456-arctg4.4×0.114=36.9º所以9)选择无源超前网络元件参数

由于对校正网络的输入输出阻抗会有不同的要求,因此元件参数的选择也会具有选择的多样性。

如方案1：先选定C，再确定R1，R2，比如选取C=4.7μF解得：R1=97KΩ(取标准值100KΩ)，R2=33KΩ

(也可以直接由∠GC（jω）G（jω）求得)由及此时无源超前网络电路如右图：

U2U1R2=33KR1=100KC=4.7μ方案2:先选取R1或R2,再用上述公式确定R2或R1与C。AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法例题2、系统框图如图(a)所示。Go(s)是系统固有部分，其对数幅频特性曲线见图(b)。Gc(s)为串联校正网络，要求校正后的系统满足下列要求：(1)系统在阶跃扰动作用下的稳态误差essn=0；(2)对数幅频特性曲线上ω=1处，20lg│GoGc│=37dB；(3)相角裕度γ≥45°。试求校正网络的传递函数Gc(s)，并绘制校正以后系统的开环对数幅频特性曲线。GC(s)GO(s)R(s)C(s)N(s)（a）20lg│Go│/dB20[-20][-40]0-20110100ω（b）（1）根据Go(s)的对数幅频特性曲线可知解：AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法（2）令20lgK=37，则有K=70.8为了使得essn=0，需要增加一个积分环节；为了保证稳定裕度，需要再增加一个微分环节即零点，暂时选取其转折频率为10，则期望的系统开环传递函数为Go(s)和G(s)的对数幅频特性曲线如图所示。L(ω)/dB20[-20][-40]0-20110100ω37[-20][-40]20lg│G│20lg│G0│经过计算(或者从图上直接读出)得截止频率ωc=8.5rad/s此时，相角裕度为γ≈32.2°<45°(γ=180°-90°+arctg8.5×0.1

-arctg8.5×1-arctg8.5×0.01≈32.2°)AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法（3）当选取截止频率ωc=10rad/s时，相角裕度为γ≈45°此时，由此可见，ωc>10rad/s时,必有γ>45°为此，可将GC（s）的转折频率变小，使得γ增大，如取则可以满足系统校正的要求。例题3：教材P261例6-4例题4：教材P263例6-5AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法3.串联迟后校正、串联迟后-超前校正等。可仿照“串联超前校正”分析方法。4.串联超前校正与串联迟后校正的适用范围（归纳总结）

5.串联综合法校正所谓综合校正方法，就是将要求的性能指标转化为期望的开环对数频率特性，与待校正的系统开环对数频率特性进行比较，再确定校正装置的形式及参数。综合校正方法，适用于最小相位系统。期望的开环对数频率特性的求取过程：参见教材P267（1）~（5）在上述过程中需要用到的一些公式：AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法例题5（教材P267例6-6）已知一单位反馈系统的开环传递函数为试用串联综合校正方法设计串联校正装置，使系统满足以下性能指标：Kv≥70(s-1)，ts≤1(s)，σ%≤40%。解：(1)取K=70，画出待校正系统开环对数频率特性Lo(ω)如下ω=1时，20lgK=37(dB)两个交接频率分别是：8.33和50相应地，ωc=24rad/s(2)画出期望的开环对数频率特性。主要参数为：①低频段：I型系统，K=70，与未校正系统特性重合。[-40]0.118.3310100[-20]40200L(ω)[-60]ω50Lo(ω)AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法②中频段：将σ%与ts转换为相应的频域指标(P244高阶系统部分）由σ=0.16+0.4(Mr-1)得Mr=1.6→H=4.33由ts=Koπ/ωc及Ko=2+1.5(Mr-1)+2.5(Mr-1)2得ωc=13rad/s,ω2≤4.88rad/s,ω3≥21.13rad/s在ωc=13处作斜率为[-20]的直线,交Lo(ω)于ω=45rad/s,并取ω

2=4rad/s,ω3=45rad/s

此时,在中频段与过ω2=4频率线向左作[-40]的直线交期望特性低频段于ω1=0.75rad/s处。

[-40]0.118.3310100[-20]40200L(ω)[-60]ω50Lo(ω)445130.75AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法③

高频段：系统的Lo(ω)止于ω4=50rad/s处。

[-40]0.118.3310100[-20]40200L(ω)[-60]ω50Lo(ω)445130.75在ω≥

ω4=50rad/s以后，取期望特性的高频段与未校正系统的Lo(ω)一致(重合)。因此ω1=0.75rad/sω2=4rad/sω3=45rad/sω4=50rad/sωc=13rad/s在中频段与过ω3=45频率线向右作[-40]的直线交交未校正[-40][-20](3)将期望频率特性L(ω)与未校正系统的Lo(ω)相减，得到串联校正装置的传递函数Gc(s):AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法(4)校正后系统的开环传递函数G(s)为:[-40]0.118.3310100[-20]40200L(ω)[-60]ω50Lo(ω)445130.75[-40][-20](5)验算性能指标ωc=13rad/s,γ=45.6º,Mr=1.6,σ%=32%,ts=0.73s(满足设计要求).根据相减的结果即校正环节的传递函数，得到其对数幅频特性曲线。(棕色部分)AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法6.串联工程设计方法常用的工程设计方法：三阶最佳设计法、最小Mr设计法。(1)三阶最佳设计法工程设计法：就是在串联综合校正法的基础上，将系统期望的开环对数幅频特性设计为[-40]-[-20]-[-40]即所谓“-2、-1、-2”形状，使期望的开环传递函数具有以下形式：并根据上式所能取得的最佳性能来确定参数的设计方法。设计过程：根据待校正系统不同的开环特性Go(s)，确定相应的控制器(P、PI或PID)作为串联校正装置Gc(s),使校正以后的开环特性G(s)=Go(s)Gc(s)具有上述期望的形式。然后，以期望的开环特性能取得最大相角裕度和较快的响应速度来选择G(s)的参数：AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法§6.4反馈校正

1.反馈校正的原理设下图G2（s）对改善系统动态性能有较大妨碍，则：G1(s)G2(s)Gc(s)R（s）C（s）校正前开环传递函数：G（s）=G1（s）G2（s）校正后开环传递函数:1+G2（s）GC（s）G1（s）G2（s）G(s)=参数选择据此，确定控制器的参数。详细过程参见：P268-270(2)最小Mr设计法（略）例题6教材P270例6-7AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法对校正后的系统：

1）、当|G2(jω)Gc(jω)|>>1即20lg|G2(jω)Gc(jω)|>>0时，则有：此时，校正后的系统特性几乎与G2（s）无关；2）、当|G2(jω)GC(jω)|<<1即20lg|G2(jω)GC(jω)|<<0时，则有：此时，校正后的系统特性与未校正的系统几乎一致，即反馈校正不起作用。由此可见，若能适当选取反馈校正装置Gc（s）的参数，便能够使得校正后的系统特性得到期望的改善。

因此，反馈校正的依据为：|G2(jω)Gc(jω)|>>1在实际工程的初步设计中满足|G2(jω)Gc(jω)|>1即可。

AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法反馈校正的基本原理（P252）：

用反馈校正装置包围未校正系统中对系统动态性能改善有较大妨碍作用的某些环节，形成一个局部反馈回路，在局部反馈回路的开环幅值远大于1的条件下，局部反馈回路的特性主要取决于反馈校正装置，而与被包围部分无关。因此，适当选取反馈校正装置Gc（s）的形式和参数，可以使已校正系统的性能满足给定指标的要求。2.反馈校正的特点1）可以削弱非线性特性的影响；2）可以减小系统的时间常数（加快响应速度）3）可以降低系统对参数变化的敏感性；4）可以抑制系统的噪声。AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法3.例题

例题1如图所示系统，已知未校正系统各部分的传递函数分别为：G1G2GcG3(1)求校正后系统开环频率特性；(2)比较校正前后系统的相角裕度。反馈校正装置的传递函数:解：(1)、先画出未校正系统的开环对数幅频特性曲线：当时AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法ω1=10，ω2=100，含有一个积分环节且ωc=31.6rad/s，未校正系统开环对数幅频特性ωdB6040200-20-40100101[-20][-40][-60]γ=180º-90º-arctg0.1×31.6-arctg0.01×31.6=0º(2)、再画出反馈校正环“G2&Gc”的开环对数幅频特性曲线因为:AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法且ω1=5,ω2=10,ω3=100(3)、校正后系统的开环对数幅频特性曲线当ω=1时，20lgK=20lg1.31=2.35dB5校正环的开环对数幅频特性ωdB6040200-20-40100101[-20][-60]ωiωj①、在ωi<ω<ωj内（中频段）:

20lg|G2(jω)Gc(jω)|>0，即|G2(jω)Gc(jω)|>1

则:[20][-20][-40][0]AutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法即有20lg|Gˊ(jω)|≈20lg|G(jω)|-20lg|G2(jω)GC(jω)|

②、在ω<ωi（低频段）和ω>ωj（高频段）内:

20lg|G2(jω)Gc(jω)|<0，即|G2(jω)Gc(jω)|<1[-20][-40]5校正后中频段开环对数幅频特性ωdB6040200-20-40100101ωiωjAutomaticControlTheory§6.线性系统的校正方法[-20][-60]根据反馈校正原理，有：Gˊ(jω)=G(jω)由①及②分析，[-40]即：20lg|Gˊ(jω)|=20lg|G(jω)|可画出校正后整个系统的开环对数幅频特性曲线如图中红线部分。[-20][-40]5校正后系统的开环对数幅频特性ωdB6040200-20-40100101ωiωjAutomaticControlTheor