函数的连续性01604

第三章连续函数§3.1连续函数§3.2连续函数的性质§3.1连续函数的概念一、连续函数的概念二、例题三、间断点的分类一、连续函数的概念定义

设函数在有定义,若函数

在a存在极限,且极限就是即则称函数在

连续,是连续函数的连续点。说明：1.函数在连续必须满足以下1.函数在一点的连续性定义三个条件：

（1）.函数在有定义；

（2）.存在；（3）.2.函数在连续比函数在存在极限有更高的要求。因为例如：在处连续,这是又如：函数在处不连续，这是因为证因为例

所以并且是的一个可去间断点.极限这是例:因为2.函数在一点连续的等价定义定义2如果对任意的存在当时应的函数(在

y0处)的增量函数在一点连续定义3).0=3(0limd®dyx为狄利克雷函数.证注意:上述极限式绝不能写成例1由上面的定义和例题应该可以看出:函数在点x03.函数在一点左(右)连续的定义:要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还x0

连续，那么它在点x0

必须要有极限(这就是说,有极限与在点x0

连续是有区别的.首先f(x)在点定义4很明显,由左、右极限与极限的关系以及连续函数0既是左连续，又是右连续.点x定理f在有定义，若的定义可得：例

讨论函数解

因为综上所述,所以,4.函数在区间上的连续性定义若函数在区间Ｉ上每一点都连续(若区间i左(右)端点属于i,函数在左(右)端点右连续)).则称函数在区间Ｉ上连续。二、间断点的分类定义定义.若f在点x0无定义,或者在点x0有定义但却由此,根据函数极限与连续之间的联系,如果f在点x0

不连续,则必出现下面两种情况之一:或不连续点.在该点不连续,那么称点x0为函数的一个间断点1．不连续点（间断点）定义等于f(x0).根据上面的分析,我们对间断点进行如下分类：(1)．第一类间断点

可去间断点:

若一个可去间断点.2．间断点及其分类注

x0是

f

的跳跃间断点与函数

f在点

x0是否有定点.2.第二类间断点:若

f在点x0的左、右极限至少有一个不存在,

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.义无关.跳跃间断点:若证因为例所以并且是的一个可去间断点.注1.例

讨论函数在x=0处是否连续？若不连续，则是什么类型的2.若点x0是的可去间断点,那么只要重新定

x0

连续.间断点？所以

f(x)在

x=0处右连续而不左连续,从而不解因为断点是跳跃间断点.连续.既然它的左、右极限都存在，那么这个间例解因为由归结原理可知，均不存在，点？§3.2连续函数的性质

一、连续函数的局部性质四、初等函数的连续性性三、反函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质一、连续函数性质1、连续函数的四则运算性定理

证

定理22、复合函数的连续性于是3、连续函数的局部有界性故证定理4（局部有界性）则这就证明了4、连续函数的局部保号性定理3（局部保号性）则,)0)((0)(00<>xfxf或均有使得对一切存在,,0dxdxÎÎ二、闭区间上连续函数的性质定义若点,一、最大(小)值的定义闭区间上连续函数性质定理（最大、最小值定理）

定理(有界性)

引理（零点定理）则至少存在一点使定理（介值性定理）上连续,则(至少)存在一点定理（介值性)上连续,则(至少)存在一点证不妨设f(x)严格增,那么就是反上连续,且与f(x)有相同的单调性.定理4.8

若函数f(x)在上严格单调且连续,则反函数三、反函数的连续性函数的定义域.1.加2.(如图所示)①每一②对应③任给⑤取④对应请读者类似地证明该函数在端点的连续性.这就说明了上连续.对于任意的正数且严格增.关于其它的反三角函数均可得到在定义域内连续的结论.例

因此它的反函数上也是连续严格增.例连续且严在上亦为连续且格增,那么其反函数三、初等函数的连续性我们已经知道以下函数在定义域内是连续的(i)常值函数;

(vi)对数函数.(v)指数函数;(iv)幂函数;(iii)反三角函数;(ii)三角函数;以上六种函数称为基本初等函数.因为连续函数由上面的分析,我们得到如下结论：定义由基本初等函数经过有限次四则运算与复上是连续的.合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面合运算所产生的函数称为初等函数.例

求极限定理

初等函数在其有定义的区间上是