第七章 无穷级数38915

第七章无穷级数第一节无穷级数的概念第二节无穷级数的基本性质第三节正项级数第四节任意项级数，绝对收敛第五节幂级数第六节泰勒公式与泰勒级数第七节某些初等函数的幂级数展开式第八节

幂级数的应用举例12-14学时1第一节无穷级数的概念无穷级数：给定一个数列{un}，则表达式u1u2u3

un

其中第n项un叫做级数的通项

u1u2u3

un

,2第一节无穷级数的概念级数的部分和：级数的前n项和snu1u2u3

un称为级数的第n次部分和部分和s1,s2,,

sn

构成一个数列．3第一节无穷级数的概念级数敛散性定义：u1u2u3

un

；4第一节无穷级数的概念级数的余项：=un+1un+2

，它们之间的差值叫做这个级数的余项

用sn作为s的近似值所产生的误差，就是余项的绝对值5第一节无穷级数的概念例1.讨论几何级数(等比级数)的敛散性．解：

如果q1

则部分和当q1时sn随着n为奇数或偶数而等于a或等于零

6第一节无穷级数的概念例2.判定级数解：

所以这级数收敛它的和是1

的敛散性．若级数收敛，求此级数的和．7第一节无穷级数的概念例3.判定级数解：

的敛散性．(ln2ln1)(ln3ln2)(ln4ln3)

[ln(n1)lnn]ln(n1)

所以级数发散

8第一节无穷级数的概念级数举例：级数的展开形式备注一般项简写形式调和级数aqn-1几何级数等比级数p—级数9第二节无穷级数的基本性质定理71sn、wn、tn

则]10第二节无穷级数的基本性质定理72不为零的常数a后所得到的级数也收敛且其和为as

证：

若级数发散，则级数发散11第二节无穷级数的基本性质例1.判定级数的敛散性．解：因级数和级数都收敛，故级数收敛．例2.判定级数的敛散性．解：因级数发散，故级数发散．12第二节无穷级数的基本性质定理73例如：和级数都是收敛的

13第二节无穷级数的基本性质例3.设级数的，判定级数的敛散性，若收敛，求它的和．解：因故级数收敛．因级数故级数收敛．因故14第二节无穷级数的基本性质定理74

如果一个级数收敛则加括号后所成的级数也收敛且与原级数有相同的和

注意：如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如：级数(11)+(11)+

收敛于零，

如果加括号后所成的级数发散则原级数也必发散

但级数1–1+11+

却是发散的对正项级数，无论加括号或去括号，都不影响原级数的敛散性

15第二节无穷级数的基本性质定理75(级数收敛的必要条件)注意：级数的通项趋于零不是级数收敛的充分条件

如果级数证：

由此可见：若级数的通项不趋于零，则级数发散

16因为正项级数的部分和数列sn是单调增加数列正项级数的部分和数列sn是单调增加数列，即第三节正项级数（一）正项级数收敛的基本定理正项级数证：

各项都是正数或零的级数称为正项级数

s1s2

sn1sn

定理76而，单调有界数列是收敛的17第三节正项级数（二）正项级数的比较判别法定理77证：见下页

uncvn

(n

1,2,

；

c是大于0的常数)，

那么例118（二）正项级数的比较判别法定理77证：

因为uncvn

，所以sn

cwn

如果0uncvn

(n12

c0

为常数)

那么(2)如果级数19（二）正项级数的比较判别法例1

判定调和级数解：

的敛散性

易见，调和级数加括号后的各项，均大于后一个级数的对应项，而后一个级数发散，故调和级数发散

>20（二）正项级数的比较判别法例2

判定p-级数解：

的敛散性

当p1时有它的各项均小于等于级数21（二）正项级数的比较判别法例3

判定级数解：

的敛散性

所以所给级数也收敛

且其和小于2

22（二）正项级数的比较判别法例4

判定级数解：

的敛散性

23（二）正项级数比较判别法（极限形式）推论设24（二）正项级数的比较判别法（极限形式）例5

判定级数解：

的敛散性

25（二）正项级数比较判别法（极限形式）例6

判定级数解：

的敛散性

26第三节正项级数（三）正项级数的比值判别法定理78(达朗贝尔比值判别法)

若正项级数(1)当l1时级数收敛

(2)当l1时级数发散

(3)当l1时级数可能收敛也可能发散

27（三）正项级数的比值判别法例7

判定级数解：

的敛散性

因为所以该级数当0x1时收敛，当x>1时发散，当x=1时，发散.28（三）正项级数的比值判别法例8

判定级数解：

的敛散性

即29第三节正项级数（四）正项级数的根值判别法定理79(柯西根值判别法)

若正项级数

(1)当

ρ1时级数收敛

(2)当

ρ1时级数发散

(3)当ρ1时级数可能收敛也可能发散

30（四）正项级数的根值判别法例9

判定级数解：

的敛散性

因为所以该级数当0a1时收敛，当a>1时发散

当a=1时，因所以当a＝1时，该级数发散

31第四节任意项级数，绝对收敛交错级数正负项相间的级数称为交错级数它的形式是其中un0(n12

)

定理710(莱布尼茨定理)则级数收敛且其和su1

32第四节任意项级数，绝对收敛例1

证明级数证：

收敛，并估计和

这是一个交错级数因为此级数满足由莱布尼茨定理它是收敛的，且其和su11

33第四节任意项级数，绝对收敛定理711绝对收敛与条件收敛：

例如：注意：而不能判断它必发散

34第四节任意项级数，绝对收敛定理712(绝对收敛性的判定)

证：

因为例235第四节任意项级数，绝对收敛定理712(绝对收敛性的判定)

解：

因为所以级数对一切x(x)

绝对收敛

例336第四节任意项级数，绝对收敛例4

解：

因为它是发散的

级数成为调和级数当x1时当|x|1时级数绝对收敛

当|x|1时级数发散

故37第四节任意项级数，绝对收敛例5

解：

因为故级数发散;当|x|>1时级数绝对收敛

当|x|1时当|x|1时,级数发散(级数一般项不趋于0)

38第五节幂级数（一）幂级数及其收敛半径和收敛域形如的级数称为(xx0)的幂级数，其中a0

a1

a2

an

都是常数，叫做幂级数的系数

当x00时，上述幂级数成为称为x的幂级数

39分析：（一）幂级数及其收敛半径和收敛域所以

(4)如果l=0,

则l|x|=0<1,

这时幂级数对任何x

绝对收敛.

40收敛区间：（一）幂级数及其收敛半径和收敛域

x的幂级数的收敛域，是一个以原点为中心，半径从r到r的区间，叫做幂级数的收敛区间，其中，r叫做幂级数的收敛半径如果幂级数除点x0外，对一切x0都发散，

则规定r0，此时幂级数收敛区间为点x0

如果幂级数对任何x

都收敛，则记作r，

此时幂级数的收敛区间为(,)当0r

时，要对xr

处幂级数的敛散性专门讨论，以决定收敛区间是开区间、闭区间或半开半闭区间41求幂级数收敛区间的步骤：（一）幂级数及其收敛半径和收敛域首先求出收敛半径r．如果0r,则再判断xr

时幂级数的敛散性

最后写出收敛区间

定理713(收敛半径的确定)

(2)当l0

时

r

(3)当l时

r042例1求幂级数（一）幂级数及其收敛半径和收敛域解：

的收敛区间

因为所以幂级数的收敛半径为r1

因此收敛区间为(1,1]

43例2求幂级数（一）幂级数及其收敛半径和收敛域解：

因为所以幂级数的收敛半径为r1

因此幂级数的收敛区间为(1,1)

44例3求幂级数（一）幂级数及其收敛半径和收敛域解：

因为所以幂级数的收敛半径为r收敛区间为(,)

45例4求幂级数（一）幂级数及其收敛半径和收敛域解：

因为故当|2x1|1时幂级数绝对收敛即1x0时因此幂级数的收敛区间为[1,0)

和收敛半径．46例5求幂级数的收敛半径和收敛域．（一）幂级数及其收敛半径和收敛域解：法一

级数绝对收敛，级数发散．级数为收敛，

47例5求幂级数的收敛半径和收敛域．（一）幂级数及其收敛半径和收敛域解：法二级数绝对收敛，级数发散．级数为收敛，

489.求幂级数的收敛半径和收敛域：(10)练习p3119(10)(12)(14)解：

499.求幂级数的收敛半径和收敛域：(12)练习p3119(10)(12)(14)解：

509.求幂级数的收敛半径和收敛域：(14)练习p3119(10)(12)(14)解：

51性质1(幂级数的和)（二）幂级数的性质为r1及r2，则其收敛半径r≥min{r1,r2}

性质2(和函数的连续性)

区间(r,r)

内它的和函数f(x)是连续的

52性质3(逐项积分公式)（二）幂级数的性质即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后级数的收敛半径也是r

收敛区间端点处的敛散性需要单独判定．53性质4(逐项求导公式)（二）幂级数的性质即幂级数在其收敛区间内可以逐项微分，并且微分后级数的收敛半径也是r

收敛区间端点处的敛散性需要单独判定．54例6（二）幂级数的性质解：

因为55例6（二）幂级数的性质解：

幂级数的收敛区间为(1,1)

设幂级数的和函数为s(x)，则法一

56例6（二）幂级数的性质解：

幂级数的收敛区间为(1,1)

设幂级数的和函数为s(x)，则法二579.求幂级数的收敛半径和收敛域(10)练习p3119(10)解：

5810.求幂级数的收敛域及和函数(2)练习p311-31210(2)(4)解：

5910.求幂级数的收敛域及和函数(4)练习p311-31210(2)(4)解：

6010.求幂级数的收敛域及和函数(4)练习p311-31210(2)(4)解：

61在函数的微分一节中我们有（一）泰勒公式第六节泰勒公式与泰勒级数

f(x)f(x0)f

(x0)(xx0)o(xx0)

(当|xx0|很小时)

略去

o(xx0)

我们有求f(x)的近似公式f(x)f(x0)f

(x0)(xx0)

(当|xx0|很小时)

其误差为r(x)f(x)f(x0)f

(x0)(xx0)

这种近似表达式精确度不高，可以考虑用n

次多项式pn

(x)近似f(x)

用微分作近似计算的不足：为了达到一定精确度的要求62设想与分析（一）泰勒公式我们希望找出一个关于(xx0)的n次多项式f

(n)(x0)pn(n)(x0)n!an

f

(x0)pn(x0)3!a3f

(x0)pn(x0)2!a2

f

(x0)pn(x0)a1

f(x0)pn(x0)a0

pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2

an

(xx0)n导数相等

来近似表达f(x)

并且希望pn(x)与f(x)在x0的各阶按此要求有于是63定理714(泰勒中值定理)（一）泰勒公式若函数f(x)在含有x0的区间(a

b)内有一阶直到

(n1)阶的连续导数

则当x(a

b)时f(x)可以表示为上述等式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶

泰勒公式，rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项

64定理714(泰勒中值定理)（一）泰勒公式在泰勒公式当x00时，称为麦克劳林公式，即中，65如果f(x)在区间(a,b)内各阶导数都存在，则对于任意的正整数n

泰勒公式都成立

（二）泰勒级数当n时如果rn(x)0，

则得幂级数这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数

在泰勒级数中取x00

得此级数称为f(x)的麦克劳林级数

66（一）直接展开法第七节某些初等函数的幂级数展开式将f(x)展成麦克劳林幂级数的步骤：

(1)求出f(x)在x0的各阶导数值f(k)(0)

若函数f(x)在x0的某阶导数不存在则f(x)不能展开为幂级数

(3)考察在收敛区间内当n时余项rn(x)的极限是否为0，如果为0，则有上述幂级数展开式，否则函数f(x)不能展成幂级数

并求其收敛区间

(2)写出幂级数67例1

将函数f(x)ex展开成x的幂级数

（一）直接展开法解：因为f(n)(x)ex于是有麦克劳林级数所以f(n)(0)1其收敛区间为(,)

因为在区间(,)内有所以有展开式68例2

将函数f(x)sinx

展开成x的幂级数

（一）直接展开法解：得麦克劳林级数其收敛区间为(,