局部优化算法之一梯度下降法

局部优化算法之一梯度下降法122优化算法和运筹学优化算法 许多实际问题利用数学建模的方法得到下面常规的优化形式：

minf(x)，s.t.g(x)≥0,x∈D.

其中，x是一个n维矢量，D是问题的定义域，F可行域。f(x)： 当x=(x)f(x)是一条曲线； 当x=(x1,x2)f(x1,x2)是一个曲面； 当x=(x1,x2,x3)f(x1,x2,x3)是一个体密度（或类位势函数）； 当x=(x1,x2,…,xn)f(x1,x2,…,xn)是一个超曲面。123优化算法和运筹学曲面，自然有许多极大值和极小值，必然各有一个全局最大值和全局最小值。 超曲面，与上相同。有些算法，只能在自己的小范围内搜索极大值或极小值。这些算法称为局部优化算法，常称为经典优化算法。 另有些算法，可以在整个超曲面取值范围内搜索最大值或最小值。这些算法称为全局性优化算法，又称为现代优化算法。124优化算法和运筹学一个简单二维曲面通常的运筹学，就是经典的局部优化算法。全局性优化算法通常是随机性搜索。125局部优化算法之一：梯度下降法见右图。局部极小值是C点（x0）。梯度，即导数，但是有方向，是一个矢量。曲线情况下，表达式为如果，f’(x)>0，则x增加，y也增加，相当于B点；如果f’(x)<0，则x增加，y减小，相当于A点。要搜索极小值C点，在A点必须向x增加方向搜索，此时与A点梯度方向相反；在B点必须向x减小方向搜索，此时与B点梯度方向相反。总之，搜索极小值，必须向负梯度方向搜索。126局部优化算法之一：梯度下降法一般情况下分析：y=f(x1,x2,…,xn)假设只有一个极小点。初始给定参数为（x10,x20,…,xn0）。问题：从这个点如何搜索才能找到原函数的极小值点？方法： 1、首先设定一个较小的正数，;

2、求当前位置处的各个偏导数：dy/dx1,dy/dx2,…,dy/dxn;

3、按照下述方式修改当前函数的参数值：

x10x10

dy/dx1,x20x20

dy/dx2,…,xn0xn0

dy/dxn;

4、如果超曲面参数变化量小于，退出；否则返回2。127局部优化算法之一：梯度下降法举例：y=x2/2-2x计算过程： 任给一个初始出发点，设为x0=-4。 (1)首先给定两个参数：=1.5，=0.01；

(2)计算导数：dy/dx=x-2 (3)计算当前导数值：y’=-6 (4)修改当前参数：

x0=-4x1=x0-*y’ =-4-1.5*(-6)=5.0;(5)计算当前导数值：y’=3.0(6)修改当前参数：x1=5.0x2=5.0–1.5*(3.0) =0.5;128局部优化算法之一：梯度下降法(7)计算当前导数值： y’=-1.5(8)修改当前参数： x2=0.5x3=0.5-1.5*(-1.5) =2.75;(9)计算当前导数值：y’=0.75(10)修改当前参数：x3=2.75x4=2.75-1.5*(0.75)=1.625;(11)计算当前导数值： y’=-0.375(12)修改当前参数：x4=1.625x5=1.625-1.5*(-0.375)=2.1875;…129局部优化算法之一：梯度下降法可见，当=1.5时，搜索呈现振荡形式，在极值点附近反复搜索。可以证明，当<1.0时，搜索将单调地趋向极值点，不会振荡；当>2.0时，搜索将围绕极值点逐渐发散，不会收敛到极值点。为了保证收敛，不应当太大。但如果过小，收敛速度将十分缓慢。可以采用自适应调节的方法加快收敛而又不至于发散。问题：为何当很小时搜索总会成功？证明：（下页）1210局部优化算法之一：梯度下降法可以按照下述方式：

x1=-*(dy/dx1),x2=-*(dy/dx2),…,

xn=-*(dy/dxn).

其中>0是个小的正数。代入前式，有

f=-*(dy/dx1)*(dy/dx1)-*(dy/dx2)*(dy/dx2)-…

-*(dy/dxn)*(dy/dxn)

=-*[(dy/dx1)2+(dy/dx2)2+(dy/dxn)2]<0

即f<0。这样就可以保证搜索到极小值。于是获得梯度下降法的搜索策略：

x1=-*(dy/dx1),x2=-*