2022-2023学年江苏省南京市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年江苏省南京市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.微分方程y''-2y=ex的特解形式应设为（）。A.y*=Aex

B.y*=Axex

C.y*=2ex

D.y*=ex

3.

4.

5.设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)()．

A.不存在零点

B.存在唯一零点

C.存在极大值点

D.存在极小值点

6.A.A.

B.

C.

D.

7.设y=sin2x，则y'=A.A.2cosxB.cos2xC.2cos2xD.cosx

8.

9.A.A.

B.

C.

D.

10.微分方程y'=x的通解为A.A.2x2+C

B.x2+C

C.(1/2)x2+C

D.2x+C

11.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

12.设z=ysinx，则等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

13.函数y=ex+e-x的单调增加区间是

A.(-∞，+∞)B.(-∞，0]C.(-1，1)D.[0，+∞)14.设函数y=f(x)的导函数，满足f'(-1)=0，当x＜-1时，f'(x)＜0；x＞-1时，f'(x)＞0．则下列结论肯定正确的是()．A.A.x=-1是驻点，但不是极值点B.x=-1不是驻点C.x=-1为极小值点D.x=-1为极大值点

15.∫1+∞e-xdx=()

A.-eB.-e-1

C.e-1

D.e16.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

17.

18.

19.

20.A.A.0B.1/2C.1D.2二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.设f(x，y)=x+(y-1)arcsinx，则f'x(x，1)=__________。

25.设z=ln(x2+y)，则全微分dz=__________。26.为使函数y=arcsin(u＋2)与u=｜x｜-2构成复合函数，则x所属区间应为__________．

27.

28.

29.

30.31.32.设是收敛的，则后的取值范围为______．

33.

34.

35.

36.

37.

38.设y=sin2x，则dy=______．39.

40.过点M0(1，2，-1)且与平面x-y+3z+1=0垂直的直线方程为_________。

三、计算题(20题)41.

42.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．43.44.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．45.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．46.47.求微分方程的通解．48.

49.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

51.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

52.

53.

54.证明：55.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．56.

57.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

58.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则59.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

60.求曲线在点(1，3)处的切线方程．四、解答题(10题)61.求微分方程xy'-y=x2的通解．

62.计算∫xsinxdx。

63.用洛必达法则求极限：

64.

65.66.67.68.展开成x-1的幂级数，并指明收敛区间(不考虑端点)。

69.

70.

五、高等数学(0题)71.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B

2.A由方程知，其特征方程为，r2-2=0，有两个特征根r=±.又自由项f(x)=ex，λ=1不是特征根，故特解y*可设为Aex.

3.B

4.B

5.B由于f(x)在[a，b]上连续f(z)·fb)<0，由闭区间上连续函数的零点定理可知，y=f(x)在(a，b)内至少存在一个零点．又由于f(x)>0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，因此f(x)在(a，b)内如果有零点，则至多存在一个．

综合上述f(x)在(a，b)内存在唯一零点，故选B．

6.Dy=e-2x，y'=(e-2x)'=e-2x(-2x)'=-2e-2x，dy=y'dx=-2e-2xdx，故选D。

7.C由链式法则可得(sin2x)'=cos2x*(2x)'=2cos2x，故选C。

8.C解析：

9.D本题考查的知识点为可变上限积分的求导．

当f(x)为连续函数，φ(x)为可导函数时，

因此应选D．

10.C

11.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

12.C本题考查的知识点为高阶偏导数．

由于z=ysinx，因此

可知应选C．

13.Dy=ex+e-x，则y'=ex-e-x，当x＞0时，y'＞0，所以y在区间[0，+∞)上单调递增.

14.C本题考查的知识点为极值的第一充分条件．

由f'(-1)=0，可知x=-1为f(x)的驻点，当x＜-1时，f'(x)＜0；当x＞-1时，f'(x)＞1，由极值的第一充分条件可知x=-1为f(x)的极小值点，故应选C．

15.C

16.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

17.B

18.D

19.A

20.C本题考查的知识点为函数连续性的概念．

21.

22.

23.

24.1

25.26.[-1，1

27.-4cos2x

28.

29.

30.

31.32.k＞1本题考查的知识点为广义积分的收敛性．

由于存在，可知k＞1．

33.0

34.

35.22解析：

36.1/2

37.238.2cos2xdx这类问题通常有两种解法．

解法1利用公式dy=y'dx，先求y'，由于y'=cos2x·(2x)'2cos2x，

因此dy=2cos2xdx．

解法2利用微分运算公式

dy=d(sin2x)=cos2x·d(2x)=2cos2xdx．39.0．

本题考查的知识点为定积分的性质．

积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，因此

40.

41.

则

42.由二重积分物理意义知

43.

44.

45.

46.

47.48.由一阶线性微分方程通解公式有

49.函数的定义域为

注意

50.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

51.

列表：

说明

52.

53.

54.

55.

56.

57.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％58.由等价无穷小量的定义可知

59.

60.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

61.将方程化为标准形式本题考查的知识点为求解一阶线性微分方程．

求解一阶线性微分方程常可以采用两种解法：

62.∫xsinxdx=x(-cosx)-∫(-cosx)dx=-xcosx+sinx+C。

63.

64.

65.66.本题考查的知识点为二重积分的计算(极坐标系)．

利用极坐标，区域D可以表示为

0≤0≤π，0≤r≤2，

如果积分区域为圆域或圆的－部分，被积函数为f(x2＋y2)的二重积分，通常利用极坐标计算较方便．

使用极坐