复数的几何意义及加减运算(用)

3.1数系的扩充和复数的概念(二)

复数的发展史虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受的,认为它是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚数单位的假设研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.复习引入我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？复平面，复数与点的一一对应：讲授新课yOxZ：a＋biab复平面，复数与点的一一对应：讲授新课这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．复数z＝a＋bi可用点Z(a,b)来表示.yOxZ：a＋biab复平面，复数与点的一一对应：讲授新课这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．复数z＝a＋bi可用点Z(a,b)来表示.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．yOxZ：a＋biab讲授新课例如复平面内点的原点(0，0)表示实数

，实轴上的点(2，0)表示实数

，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数

，yOxZ：a＋biab点(－2，3)表示复数

，讲授新课每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应．讲授新课复数集C和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的，即每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应．讲授新课复数集C和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的，即每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a,b)一一对应讲授新课设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连结OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即yOxZ：a＋biab讲授新课复数z＝a＋bi平面向量一一对应yOxZ：a＋biab讲授新课共轭复数当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．讲授新课共轭复数当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．若z1，z2是共轭复数，那么在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？实数能比较大小，复数能比较大小吗？复数的模|z|＝a＋bi＝r＝(r≥0，r∈R).yOxZ：a＋biab1.在复平面内，描出下列各复数的点：⑴2＋5i;⑵－3＋2i;⑶2－4i;⑷－3－i⑸5;⑹－3i．xyO课堂练习1.在复平面内，描出下列各复数的点：⑴2＋5i;⑵－3＋2i;⑶2－4i;⑷－3－i⑸5;⑹－3i．xyO⑵⑷⑶⑸⑴⑹课堂练习课堂练习2.说出图中复平面内各点所表示的复数及模长并指出哪些复数互为共轭复数？(每个小正方格子边长为1)：xyOGCFDHBAE1.下列命题，其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3课堂练习(1)互为共轭复数的两个复数的模相等(2)模相等的两个复数互为共轭复数(3)若与复数z＝a＋bi对应的向量在虚轴上，则a＝0，b≠0A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限课堂练习3.设z＝(2t2＋5t－3)－(t2＋2t＋2)i(t∈R)则()A.z对应的点在第一象限B.z一定不为纯虚数C.z对应的点在实轴下方D.z一定为实数课堂练习例1.实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：①对应点在x轴上方；②对应点在直线x＋y＋5＝0上.xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–5图形:以原点为圆心,5为半径的圆上变式：满足|z+1+i|=5的复数Z在复平面内将构成怎样的图形？5xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–53–3–33图形:以原点为圆心,半径3至5的圆环内猜想：.已知复数满足试求出复数对应点的轨迹方程.yx★练习1,满足条件的复数A.一条直线B.两条直线C.圆D.其它在复平面上对应点的轨迹是()C2.若复数z满足|z－3i|＝5，求|z＋2|的最大值和最小值.课堂练习学案例4

对一般的两个复数相加有什么猜想，即z1=a+bi，z2=c+di，z1+z2=？猜想归纳（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i复数的加法法则：点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致。（2）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。问题探索设问1、复数的加法满足交换律，结合律吗？即:对于任意的,有则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)类比猜想设问2、类比复数的加法法则,你认为复数有减法吗?复数的减法法则如何呢？复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作（a+bi）－（c+di）（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－d)i点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。复数的减法法则：归纳:复数可以求和差，虚实各自相加减。归纳总结一、复数加法与减法的运算法则例1、计算(2－3i)+(-8－3i)－(3－4i)解：(2－3i)+(-8－3i)－(3－4i)=(2－8－3)+(-3－3+4)i

=-9－2i.例题讲解点评：复数可以求和差，虚实各自相加减三级跳83页1，2，4，5，6，8复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应平面向量一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi二、复数加法与减法运算的几何意义?由此出发探讨复数加法的几何意义xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则.1.复数加法运算的几何意义?问题探索结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行,复数的和对应向量的和。xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.2.复数减法运算的几何意义?问题探索结论：复数的差Z2－Z1与连接两个向量终点并指向被减数的向量对应.例已知求向量对应的复数.几何意义运用变式1已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B对应复数是-3+2i,0,2+i

，求点C对应的复数.解:复数-3+2i,2+i,0对应点A(-3,2),B(2,1),O(0,0),如图.

∴点C对应的复数是-1+3i

在平行四边形AOBC中,xyA

0CB几何意义运用学案：课堂小结1，3，6第四个顶点对应的复数是6+4i，-4+6i，-2-i变式２

已知复平面内一平行四边形ABCＤ三个顶点对应复数是-3+2i,2+i,1+5i求第四个对应的复数.XyxoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.2.复数减法运算的几何意义?|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离转化推广复平面内两点间距离xyZ1Z2

0设Z=a+bi,=c+di

它们在复平面内分别对应于点Z1,Z2

1Z2复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模转化推广(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.点A到点(1,2)的距离点A到点(－1,－2)的距离(3)|z－1|(4)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0,－2)的距离复数加减复平面的点坐标运算一一对应一一对应一一对应平面向量加减1.复数代数形式的加减运算: