多元函数极值

微积分(Ⅱ)§6.6

多元函数的极值1一﹑二元函数的极值定理1（极值存在的必要条件）若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)存在偏导数，且P0是极值点，则它必为函数的驻点，即反之，驻点不一定就是极值点。如：2双曲抛物面（马鞍面）:3在偏导数不存在的点，函数也可能取极值.如:定理2（极值存在的充分条件）若函数f(x,y)在U(P0)内具有一阶和二阶的连续偏导数，且满足记4(3)当B2-AC=0时,不能判定

P0(x0,y0)是否为f(x,y)的极值点.(ⅱ)若A>0(或C>0),则P0(x0,y0)是

f(x,y)的极小值点.(ⅰ)若A<0(或C<0),则P0(x0,y0)是

f(x,y)的极大值点;(1)当B2-AC<0时,(2)当B2-AC>0时,则P0(x0,y0)

不是

f(x,y)的极值点.5求函数极值的程序:(3)确定出B2-AC的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是不是极值，是极大值还是极小值。(2)对每一个驻点P0(x0,y0)，计算出二阶偏导数A,B,C;(1)求驻点：解方程组6练习求二元函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.(09,数学三,9分)例5求下列二元函数的极值:

f(x,y)=x3－

y3

＋3x2＋3y2－9x填空题二元函数f(x,y)=3x+2y–xy+3的驻点为__________.(2,3)对此驻点，A=___,B=___,C=____,B2–AC=____.故它_____________________不是f(x,y)的极值点.00-117最值的求法例6

求函数z=x2y(4-x-y)在直线x=0,y=0,x+y=6所围成的三角形闭区域D上的最大值与最小值.DO668例7

某厂生产两种产品，总收入R与两种产品的产量x,y的函数关系是R(x,y)=120x+140y-2x2-2xy-y2，总成本与两种产品的产量x,y的函数关系是c(x,y)=700+20x+60y.问该厂应如何规定这两种产品的产量，方可获得最大利润，最大利润多少？9二﹑条件极值与拉格朗日乘数法1.条件极值的意义2.拉格朗日乘数法在约束条件

g(x,y)=0

(也称约束方程)之下,求函数z=f(x,y)(通常称为目标函数)的极值问题,有两种方法:其一是转化为无条件极值:从约束方程g(x,y)=0中解出y=φ(x),代入得z=f(x,φ(x)),这个一元函数的极值就是函10(1)

作辅助函数(称拉格朗日函数)L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ是待定常数,称为拉格朗日乘数.

数

z=f(x,y)在约束条件

g(x,y)=0

下的条件极值.其二是拉格朗日乘数法,步骤如下:

(2)

求可能取极值的点:解方程组11设法消去λ,解出x0和y0,则(x0,y0)就是可能取条件极值的点.(3)

判别所求得的点(x0,y0)是否为极值点.通常按问题的实际意义来判断.若只有一个可能的极值点，而由问题本身知道极值一定存在,那么所求得的点就是条件极值点.练习

周长为4的长方形的长x﹑宽y各为多少时面积最大?12推广自变量多于两个而约束条件多于一个的情形。如：u=f(x,y,z),φ(x,y,z)=0.解设长方体的长﹑宽﹑高分别为x,y,z,则约束条件为:xyz=V.而目标函数为表面积S=2(xy+yz+xz).作拉格朗日函数例8用拉格朗日乘数法求解容量一定的具有最小表面积的长方体。13例10某公司的