一-偏导数的定义及其计算法复习课程

一、偏导数的定义(dìngyì)及其计算法第二节偏导数(dǎoshù)和全微分第一页，共56页。第二页，共56页。第三页，共56页。偏导数的概念可以(kěyǐ)推广到二元以上函数如在处第四页，共56页。[解][证][解]例第五页，共56页。证第六页，共56页。有关(yǒuguān)偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数(dǎoshù)要用定义求；解第七页，共56页。３、偏导数(dǎoshù)存在与连续的关系但函数(hánshù)在该点处并不连续.偏导数存在(cúnzài)连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，第八页，共56页。4、偏导数的几何意义(yìyì)如图第九页，共56页。几何(jǐhé)意义:第十页，共56页。纯偏导混合(hùnhé)偏导定义(dìngyì)：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数(dǎoshù)第十一页，共56页。[解][解]第十二页，共56页。问题(wèntí)：混合偏导数都相等(xiāngděng)吗？具备怎样的条件才相等(xiāngděng)？[解]第十三页，共56页。课堂(kètáng)思考题第十四页，共56页。思考题解答(jiědá)不能.例如(lìrú),第十五页，共56页。解第十六页，共56页。证原结论(jiélùn)成立．第十七页，共56页。解第十八页，共56页。不存在(cúnzài)．第十九页，共56页。解第二十页，共56页。解第二十一页，共56页。解第二十二页，共56页。由一元函数微分学中增量(zēnɡliànɡ)与微分的关系得三、全微分(wēifēn)的定义第二十三页，共56页。全增量(zēnɡliànɡ)的概念第二十四页，共56页。全微分(wēifēn)的定义第二十五页，共56页。事实上第二十六页，共56页。四、可微的条件(tiáojiàn)第二十七页，共56页。证总成立(chénglì),同理可得第二十八页，共56页。一元函数在某点的导数(dǎoshù)存在微分存在．多元函数的各偏导数存在(cúnzài)全微分存在(cúnzài)．例如(lìrú)，第二十九页，共56页。则当时，第三十页，共56页。说明：多元函数(hánshù)的各偏导数存在并不能保证全微分存在，证第三十一页，共56页。（依偏导数(dǎoshù)的连续性）第三十二页，共56页。同理第三十三页，共56页。习惯(xíguàn)上，记全微分为全微分(wēifēn)的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于(děngyú)它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．第三十四页，共56页。解所求全微分(wēifēn)第三十五页，共56页。解第三十六页，共56页。解所求全微分(wēifēn)第三十七页，共56页。证第三十八页，共56页。多元(duōyuán)函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导第三十九页，共56页。证令则同理第四十页，共56页。不存在(cúnzài).第四十一页，共56页。第四十二页，共56页。证五、复合(fùhé)函数的为分法：链式法则第四十三页，共56页。第四十四页，共56页。上定理(dìnglǐ)的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数称为全导数.第四十五页，共56页。解第四十六页，共56页。上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元(duōyuán)函数的情况：第四十七页，共56页。链式法则如图示第四十八页，共56页。第四十九页，共56页。特殊(tèshū)地即令其中(qízhōng)两者的区别(qūbié)区别类似第五十页，共56