递推最小二乘法复习过程

12023/1/13第一页，共31页。2考虑系统模型：回顾(huígù)最小二乘法(chéngfǎ)辨识第二页，共31页。3则可写为

N维输出(shūchū)向量2n+1维参数(cānshù)向量N维噪声(zàoshēng)向量N×(2n+1)维测量矩阵最小二乘法：第三页，共31页。4

最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照指标函数

为最小来确定估值。求J对的偏导数并令其等于0可得的最小二乘估计

J为极小值的充分条件(chōnɡfēntiáojiàn)是即矩阵为正定矩阵。

第四页，共31页。52023/1/13图4.1动态系统递推最小二乘在线辨识过程原理图第五页，共31页。62023/1/13令，则递推最小二乘算法(suànfǎ)递推最小二乘法(chéngfǎ)第六页，共31页。72023/1/13该递推公式(gōngshì)有明显的物理意义：称为新息，表示实测值与预报值之差，而为新息的校正增益。第七页，共31页。8数据(shùjù)饱和现象在实际应用中，递推最小二乘法常常(chángcháng)会出现数据饱和现象。所谓数据饱和现象是指随着时间的推移，采集的数据越来越多，新数据提供的信息被旧数据所淹没。第八页，共31页。9数据(shùjù)饱和现象可见，随着递推次数(cìshù)的增加，P(N)将越来越小,最后可能趋于零。因此根据上式，新的采样值对参数估计的改进，已不再起作用了。为了克服(kèfú)数据饱和现象，可以用降低旧数据影响的办法来修改算法。第九页，共31页。104.6渐消记忆(jìyì)递推算法渐消记忆法是对每个数据按指数加权，老的数据作用逐渐(zhújiàn)减弱。如果再获得一对新的观测值，则有由n+N个观测数据获得的最小二乘估计为第十页，共31页。此时，由n+N+1个观测数据获得的最小二乘估计为（*）第十一页，共31页。将上面(shàngmiɑn)的结果带入（*）式，并展开得第十二页，共31页。又因为(yīnwèi)，则上式变为令，则得渐消记忆(jìyì)的递推最小二乘算法第十三页，共31页。渐消记忆(jìyì)递推最小二乘算法第十四页，共31页。渐消记忆(jìyì)递推最小二乘算法其中，λ称为“遗忘因子”。选择不同的λ就得到不同的遗忘效果。λ越小，遗忘的速度越快。λ=1：无遗忘；λ=0：全遗忘一般来说，λ必须选择接近(jiējìn)于1的正数，对于线性系统，应选择0.95≤λ≤1。第十五页，共31页。限定(xiàndìng)记忆法思路：限定每次估计(gūjì)都用最新的n+N个数据，增加一个新数据就去掉一个老数据。第十六页，共31页。172023/1/134.7.1最小二乘估计(gūjì)的特点1）唯一性3）应用(yìngyòng)简单，鲁棒性好4.7最小二乘估计(gūjì)的性质2）适用范围广第十七页，共31页。182023/1/134.7.2最小二乘估计(gūjì)的概率性质如果ξ(k)是不相关(xiāngguān)随机序列，且均值为0。1）无偏性2）一致性4）渐进(jiànjìn)正态性辅助变量法、广义最小二乘法、增广矩阵法

如果ξ是均值为0且服从正态分布的白噪声向量，则最小二乘参数估计值服从正态分布。3）有效性在众多无偏估计中，方差最小。第十八页，共31页。最小二乘估计(gūjì)法的缺陷最小二乘估计的无偏性、一致性等概率性质(xìngzhì)，都是在ξ(k)为零均值、不相关随机序列的前提下得到的。但实际系统中ξ(k)往往是相关的，有些系统即使外加干扰为不相关的随机序列，但在参数估计过程中，也变成相关的随机序列了。第十九页，共31页。最小二乘估计(gūjì)法的缺陷系统B(z-1)/A(z-1)u(k)x(k)ε(k)y(k)+第二十页，共31页。最小二乘估计(gūjì)法的缺陷可见ξ(k)是相关序列，进而得到的最小二乘参数估计不是无偏、一致估计。因而，LS估计方法的应用受到一定限制，下面介绍(jièshào)在LS基础上加以改进的方法。第二十一页，共31页。224.8辅助(fǔzhù)变量法现在开始讨论如何克服最小二乘法(chéngfǎ)的有偏估计问题。对于原辨识方程

（4.8.1）当是不相关随机序列时，最小二乘法可以得到参数向量的一致性无偏估计。但是，在实际应用中往往是相关随机序列。

第二十二页，共31页。23式中Q是非奇异的。

假定存在着一个的矩阵Z（与同阶数）,满足约束条件

（4.8.2）用乘以式（4.8.1）等号两边得（4.8.3）由上式可得

（4.8.4）第二十三页，共31页。24如果取

（4.8.5）作为的估值，则称估值为辅助变量估值，矩阵Z称为辅助变量矩阵，Z中的元素称为辅助变量。

从式（4.8.5）可以看到，与最小二乘法估值的计算公式具有相同的形式，因此计算比较简单。

根据式（4.8.1）和式（4.8.5）可得

（4.8.6）第二十四页，共31页。25（4.8.7）当N很大时，对上式等号两边取极限得

（4.8.8）根据式（4.8.2）所假定的约束条件，可得

因此辅助变量(biànliàng)估计是无偏估计。第二十五页，共31页。26剩下的问题是如何选择辅助变量，即如何确定辅助变量矩阵Z的各个元素。选择辅助变量的基本原则(yuánzé)是式（4.8.2）所给出的两个条件必须得到满足。

这可以简单地理解为所选择的辅助变量应与不相关，但与中的和强烈相关。第二十六页，共31页。27Z可以有多种选择方法，下面介绍(jièshào)两种常用的选择方法。1）迭代(diédài)辅助变量参数估计法

辅助变量取作,是辅助模型

（4.8.9）的输出向量的元素，辅助变量矩阵Z为

第二十七页，共31页。28第二十八页，共31页。29迭代(diédài)辅助变量参数估计法计算步骤：第二十九页，共31页。302）自适应(shìyìng)滤波法

这种方法所选择的辅助变量和辅助变量矩阵Z的形式与上一种方法完全相同，只是辅助模型中参数向量的估计方法与上一种方法有所不同。取

式中：取；d取；为k时刻所得到的参数向