信号与系统分析(第2版)第7章-1-3

1第7章z变换7.1z变换7.3

z变换的性质7.2逆z变换7.4利用z变换求解差分方程7.5离散时间系统的系统函数7.6离散时间系统的频率响应引言电子教案目录2第7章z变换7.7设计IIR数字滤波器的冲激响应不变法7.9

FIR数字滤波器7.8设计IIR数字滤波器的双线性变换法电子教案目录3引言引言第7章z变换连续离散复频域：简化计算：时域微分方程s域代数方程时域差分方程z域代数方程时域卷积计算

s域乘积计算时域卷积计算

z域乘积计算系统函数：系统特性：时域特性、频率特性、稳定性时域特性、频率特性、稳定性？回答是肯定的！回答以上问题就是本章的内容。

4引言第7章z变换（4）IIR、FIR数字滤波器的设计7.7～7.9（1）如何把进行z变换，得到对应的？7.1、7.3（2）如何把进行z逆变换，得到对应的？7.2（3）离散系统的z域表示——系统函数与、时域的差分方程的关系是什么？系统函数、稳定性、频率响应的关系是什么？7.4、7.5、7.657.1z变换7.1z变换1.抽样信号的拉氏变换2.z变换的定义3.z变换的收敛域61.抽样信号的拉氏变换对连续信号

x(t)进行均匀冲激抽样后可得到离散信号xs(t)，设抽样间隔时间为T，则有：对上式取拉氏变换，由于L

[δ(t−nT)]=e−nTs

xs(t)的双边拉氏变换令z=esT，Xs(s)=X(z)的拉氏变换式可变成为另一复变量z的变换式，即：1.抽样信号的拉氏变换7.1z变换72.z变换的定义

若求和从n=0开始，则为单边z变换2.z变换的定义7.1z变换令，对任意离散序列x[n]的双边z变换定义为：（1）双边z变换（2）单边z变换对于因果序列，单边z变换与双边z变换相等。83.z变换的收敛域ROC（RegionofConvergence）使序列x[n]的z变换收敛的所有z的集合称为z变换X(z)的收敛域。3.z变换的收敛域7.1z变换（1）收敛条件（2）收敛域定义Z变换存在的充分必要条件是93.z变换的收敛域7.1z变换（3）z变换收敛域与拉氏变换收敛域的关系

这是一个s域到z域的变换关系式它将s平面σ>σ0的右半平面映射到z平面上半径为的圆外区域。

即z平面上以原点为中心、（包括无穷大区域）为单边z变换的收敛域。为半径的圆外区域10例：求以下序列的z变换。（1）单位样值序列；（2）单位阶跃序列；（3）单边指数序列。（3）的z变换为当，也即时，级数收敛，有ROC：ROC：ROC：即3.z变换的收敛域7.1z变换解：（1）的z变换为（2）的z变换为若（或表示为），级数收敛，即11ROC：(1)(2)(3)ROC：ROC：3.单边z变换的收敛域7.1z变换127.2逆z变换7.2逆z变换查表法（表中存在的序列）对比法幂级数展开法（长除法）部分分式法131.变换对对比法直接写出，这时多项式的各项系数就是的对应项.例：，求解：1.对比法7.2逆z变换当z变换以z的降幂多项式形式给出时，可以用z变换定义式：或142.幂级数展开法（长除法）式中：，为实系数，分子、分母的多项式按z的降幂排列。当X(z)的分子的次数M

小于等于分母的次数N

时，用长除法将分子除以分母可得z的负幂级数，进而可求得x[n]。序列的z变换X(z)通常可以表示为z的有理函数2.幂级数展开法7.2逆z变换152.幂级数展开法7.2逆z变换解：例7-7：求16长除法的MATLAB求解b=[0,1,0.6];a=[1,-1.3,0.4];[xn,n]=impz(b,a,50)stem(n,xn)例M1：已知，求序列的值，并绘制波形。设样点计算到程序：xn=0，1，1.9，2.07，1.931，1.6823，1.4146，1.166，0.95003，0.76861，0.61919的前10个值为2.幂级数展开法7.2逆z变换173.部分分式展开法（利用拉氏反变换已有的方法）（1）基本单元的拉氏变换与z变换的比较由此得到提示：若（单极点）则3.部分分式展开法7.2逆z变换18（2）部分分式展开法步骤②每个部分分式乘以z③写出各分式的z变换并求和①求的部分分式（方法与拉氏反变换的部分分式法相同）3.部分分式展开法7.2逆z变换19解：对进行部分分式展开其中：所以单极点3.部分分式展开法7.2逆z变换例7-8：已知象函数其收敛域分别为：(1)

;(2);(3),分别求其原序列x[n]。20单极点3.部分分式展开法7.2逆z变换例7-8：已知象函数其收敛域分别为：(1)

;(2);(3),分别求其原序列x[n]。解：(1)收敛域，故x[n]为右边序列，得

x[n]={−1.2(0.2)n+1.8(0.3)n}ε[n](2)收敛域，故x[n]为左边序列，得

x[n]={1.2(0.2)n−1.8(0.3)n}ε[−n−1](3)收敛域，X(z)第一项为右边序列()，第二项为左边序列(

)，故

x[n]=−1.2(0.2)nε[n]−1.8(0.3)nε[−n−1]21各系数为 则解：

X(z)在z=1处有重极点，可展开为重极点3.部分分式展开法7.2逆z变换例7-9：求的逆变换,由于收敛域，则x[n]为右边序列，为22则

解：计算r1和r2，有：复数极点，取X(z)的逆变换，得共轭极点3.部分分式展开法7.2逆z变换例7-10：求的逆变换，23部分分式法的MATLAB计算程序：b=[80-5315-2];a=[10-71];[r,p,k]=residuez(b,a)执行程序的结果为：r=p=k=1-230.540.2根据计算结果得则逆变换

例M2：求的逆变换3.部分分式展开法7.2逆z变换247.3z变换的性质7.3z变换的性质1.时域移位2.时域翻转3.z域缩展4.z域微分5.初值定理与终值定理6.时域卷积定理251.时域移位1.时域移位7.3z变换的性质双边z变换解：

例7-11：已知δ[n]↔1，利用移位性质求ε[n]和ε[n−1]的z变换。26对因果序列，n<0时序列的值为零，因此有右移1.时域移位7.3z变换的性质左移单边z变换272.时域翻转7.3z变换的性质2.时域翻转例7-12：已知

，求序列

的z变换。解：

283.Z域缩展7.3z变换的性质3.z域缩展例7-13：求序列

的z变换。解：由于

294.Z域微分7.3z变换的性质

4.z

域微分解：例7-14：已知，求序列的z变换.当a=1时，305.初值定理与终值定理7.3z变换的性质例7-15：已知，求解：5.初值定理与终值定理为因果序列初值定理：例7-16：已知，求解：

(1−z−1)X(z)的极点都在单位圆内终值定理：x[n]为右边序列，且(1−z−1)X(z)的所有极点都在单位圆内则或316.时域卷积定理7.3z变换的性质6.时域卷积定理例7-17：求下列两个因果指数序列的卷积解:

32例：求序列的单边Z变换，并表明收敛域解：(a)(b)（1）利用线性性质（2）利用时移（位移）性质7.3z变换的性质33用MATLAB计算序列z变换例M1：求和的z变换程序：symsnzaW0%定义符号变量x1n=n*a^n;%定义x2n=cos(W0*n);%定义x1z=ztrans(x1n,n,z)%对进行z变换x2z=ztrans(x2n,n,z)%对进行z变换MATLAB进行符号z变换的指令为：xz=ztrans(xn,n,z)结果为：x1z=z*