第5章 约束优化方法

第五章有约束优化方法

§5-1引言§5-2惩罚函数法§5-1引言机械优化设计中的问题，大多数属于约束优化设计问题，其数学模型为上一章讨论的都是无约束条件下非线性函数的寻优方法，但在实际工程中大部分问题的变量取值都有一定的限制，也就是属于有约束条件的寻优问题。与无约束问题不同，约束问题目标函数的最小值是满足约束条件下的最小值，即是由约束条件所限定的可行域内的最小值。只要由约束条件所决定的可行域必是一个凸集，目标函数是凸函数，其约束最优解就是全域最优解。否则，将由于所选择的初始点的不同，而探索到不同的局部最优解上。在这种情况下，探索结果经常与初始点的选择有关。为了能得到全局最优解，在探索过程中最好能改变初始点，有时甚至要改换几次。（1）直接法

直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可变容差法和可行方向法。

（2）间接法

间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法等。根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为:直接解法、间接解法。

直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是在m个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行搜索方向d且以适当的步长，进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，直至满足收敛条件。步长可行搜索方向

可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域。

间接解法的基本思路是按照一定的原则构造一个包含原目标函数和约束条件的新目标函数，即将原约束优化问题转化成为一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解。基本思想：通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解，这类方法称为序列无约束最小化方法。简称为SUMT法。§5-2惩罚函数法将有约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。前提：一是不能破坏约束问题的约束条件，二是使它归结到原约束问题的同一最优解上去。

构成一个新的目标函数，称为惩罚函数

从而有惩罚项必须具有以下极限性质：

求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。按一定的法则改变罚因子r1

和r2的值，求得一序列的无约束最优解，不断地逼近原约束优化问题的最优解。

根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。内点法这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。对于只具有不等式约束的优化问题：

转化后的惩罚函数形式为：或：rk是惩罚因子，它是一个由大到小且趋近于0的正数列，即:由于内点法的迭代过程在可行域内进行，“障碍项”的作用是阻止迭代点越出可行域。由“障碍项”的函数形式可知，当迭代点靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而“障碍项”的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“高墙”，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子时，才能求得在约束边界上的最优解。

罚因子的作用是：由于内点法只能在可行域内迭代，而最优解很可能在可行域内靠近边界处或就在边界上，此时尽管泛函的值很大，但罚因子是不断递减的正值，经多次迭代，接近最优解时，惩罚项已是很小的正值。例5-2用内点法求的约束最优解。解:用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函数:用解析法求函数的极小值，运用极值条件：

联立求解得：时不满足约束条件

应舍去。无约束极值点为当1）

初始点x0的选取使用内点法时，初始点应选择一个离约束边界较远的可行点。如太靠近某一约束边界，构造的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难.2）

惩罚因子初值r0的选取惩罚因子的初值应适当，否则会影响迭代计算的正常进行。一般而言，太大，将增加迭代次数；太小，会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。无一般性的有效方法。对于不同的问题，都要经过多次试算，才能决定一个适当

r0

3)惩罚因子的缩减系数c的选取在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为:式中的c称为惩罚因子的缩减系数，c为小于1的正数。一般的看法是，c值的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范围在0.1~0.7之间。4)收敛条件算法步骤：1）选择可行域内初始点X(0);2）选取初始罚因子r(0)与罚因子降低系数c，并置K←0；3）求minφ(x(K),r(K))解出最优点xK*；4）当K=0转步骤5），否则转步骤6）；5）K←K+1，r(K+1)←r(K)，xK+10←xK*，并转步骤3）；6）按终止准则判别，若满足转步骤7），否则转步骤5）；7）输出最优解（X*，F*），停止计算。2.

外点法

外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。

外点惩罚函数的形式为：

r是惩罚因子,外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知，当迭代点x

不可行时，惩罚项的值大于0。

例5-3用外点法求解下列有约束优化问题解：惩罚函数为：

对上式求偏导，得

无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。r0.01-0.80975-50.00000-24.9650-49.99770.1-0.45969-5.00000-2.2344-4.947410.23607-0.500000.96310.1295100.83216-0.050002.30682.000110000.99800-0.000502.66242.6582∞108/38/3内点法和外点法的简单比较

内点法的特点：

（1）始点必须为严格内点

（2）不适于具有等式约束的数学模型

（3）迭代过程中各个点均为可行设计方案

（4）一般收敛较慢

（5）初始罚因子要选择得当