概率统计-第二章

第二章随机变量及其分布随机变量离散型随机变量及其概率分布随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布§1.随机变量问题：为什么引入随机变量？将随机现象数量化！实例1

抛掷骰子，观察出现的点数.S={1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量恒等变换我们用e代表样本空间的元素，将样本空间简记成S={e}。实例2抛一枚均匀硬币，观察出现正面H和反面T的情况。S={正面、反面

}

非数量将S数量化正面反面

以X记三次投掷得到正面H的总数，那么注③：随机变量X=X(e)不一定是单射,具体如何定义要看随机试验的目的.一次随机试验中,可定义不同的随机变量.例2.1.2某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,假设某人到达该车站的时刻是随机的，若要考察其候车时间，定义合适的随机变量。定义随机变量X,表示此人的候车时间.显然,0≤X≤5.随机变量的分类离散型非离散型连续型其它随机变量(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或可列个,叫做离散型随机变量。(2)连续型随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量。例2.1.3若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X的可能值是:例2.1.4设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”,则X的可能值是:例2.1.5随机变量X为“灯泡的寿命”，则X的取值范围是：※对随机变量，不仅要知道它取什么值，还要知道它取这些值的概率！随机变量的概率分布§2.离散型随机变量及其分布律离散型随机变量的分布律常见的几种离散型随机变量的概率分布两点分布二项分布泊松分布超几何分布几何分布……一、离散型随机变量的分布律

※离散型随机变量的分布律也可表示为：例2.2.1设汽车开往目的地途中经过4组信号灯，每组信号灯以p=0.5的概率禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，已经通过的信号灯组数，求X的分布律。二、常见离散型随机变量的概率分布两点分布注：两点分布是最简单的一种分布,可用来描述任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、某次试验中关心的事件A是否发生等。

若随机变量X只能取0和1两个值，它的分布律为：则称X服从以p为参数的(0-1)分布或两点分布。例2.2.2200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件，检验是否合格。取得不合格品,取得合格品.随机变量X服从(0—1)分布.二项分布定义2.2.2（重复独立试验）将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是相互独立的，或称为n次重复独立试验。

n重伯努利试验中，以X记事件A出现的次数

事件A出现k次的概率？

qX的分布律：二项分布两点分布

例2.2.3已知某一大批产品的一级品率为0.2，现从中抽取20件，求其中恰有k件一级品的概率，其中k=0,1,……,20.X：其中包含一级品的件数※二项分布的图形

例2.2.4（最可能成功次数）设每颗子弹打中飞机的概率为0.01，问在500发中打中飞机的最可能次数是多少？求其相应的概率。例2.2.5保险业是最早使用概率论的行业。保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种各样的概率，下面是典型问题之一。若一年中某类保险者中每个人死亡的概率为0.005，现有一万人参加这类保险，试求未来一年中在这些投保者里面，（1）有40个人死亡的概率；（2）死亡人数不超过70个人的概率。二项分布

泊松分布n太大，实际计算困难泊松分布

泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数、交通事故次数等,都服从泊松分布.

单击图形播放/暂停ESC键退出二项分布

泊松分布

例2.2.7(用泊松分布近似二项分布)某公司生产一种产品300件。根据历史生产记录知该种产品的废品率为0.01，问这300件产品中废品数大于5的概率是多少？

超几何分布

次品率几何分布

例2.2.8某人要开门，他共有n把钥匙，其中仅有一把可以开门。他每次随机选取一把钥匙开门，失败后放回。问此人在第s次试开时成功的概率多大？每次开门是一次伯努利试验，用X表示成功开门时的试开次数，那么§3.随机变量的分布函数

分布函数

实例

抛掷均匀硬币,令求随机变量X的分布函数.解分布函数的性质

右连续两个重要公式

分布函数分布律离散型随机变量分布律与分布函数的关系思考：不同的随机变量，它们的分布函数一定也不相同吗？注:不同的随机变量可以服从相同的分布;随机变量的分布类型由分布函数决定.例2.3.2（连续型随机变量的分布函数）一个靶子是半径为2m的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘的面积成正比，并且所有射击都能中靶。若以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。2m注：这里的随机变量X取值范围

是[0,2],属于连续型随机变量。F(x)图形为一连续曲线X的分布函数为：概率密度函数§4.连续型随机变量及其概率密度概率密度函数的定义与性质几种常见的连续型随机变量的分布均匀分布指数分布正态分布……一、概率密度的定义与性质

概率密度的性质：

1

例2.4.1例2.4.2二、常见的连续型随机变量的分布

注②：X的分布函数是注③：“均匀”的含义—若X~U(a,b)，则X落在(a,b)子区间的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。几何概型的等可能性例2.4.3设K~U(0,5)，求方程有实根的概率。解：有实根的充要条件：K≤-1或K≥2；根据均匀分布的概率密度求P{K≤-1}和P{K≥2}。

注①：注②：分布函数

通常用指数分布来作为各种“寿命”分布的近似。例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、随机服务系统的服务时间等都常假定服从指数分布。应用与背景指数分布的无记忆性注：指数分布是唯一具有“无记忆性”的连续型分布。

注②：令t=(x-μ)/σ正态概率密度函数的几何特征正态分布的分布函数

正态分布是最常见最重要的一种分布，例如测量误差，人的身高、体重，测量误差，海洋波浪的高度，农作物的收获量，工厂产品的尺寸：直径、长度、重量、高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

另外，有些分布(如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布。二项分布向正态分布的转换正态分布下的概率计算被积函数不是初等函数方法一:利用MATLAB软件包计算方法二:转化为标准正态分布查表计算

附表2标准化随机变量例2.4.4（标准正态分布下概率计算）设X~N(0,1)，计算P{1<X≤2},P{-1<X≤1},P{X≤-1.24}。解：P{1<X≤2}=Φ(2)-Φ(1)=0.9772-0.8413=0.3159;P{-1<X≤1}=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=0.6826;P{X≤-1.24}=Φ(-1.24)=1-Φ(1.24)=1-0.8925=0.1075.例2.4.5（一般正态分布下概率计算）设X~N(μ,σ2)，求P{a<X<b}。解：重要关系式

例2.4.7将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器值定在d℃,液体的温度X是一个随机变量，且X~N(d,0.52).(1)若d=90℃，求X小于89℃的概率；(2)若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d至少为多少？

§4.随机变量函数的分布Y是X的函数

一、离散型随机变量函数的分布例2.5.1设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=X2的分布律。由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法:“列举+合并”离散型随机变量的函数的分布其