信号与系统第二章25序列的Z变换课件

§2.5序列的Z变换时间连续系统中：L变换（S平面）F变换（虚轴）F变换j0S平面时间离散系统中：F变换（单位圆）Z变换（Z平面）F变换0ejZ平面2.2.1Z变换的定义及收敛域定义:双边Z变换单边Z变换Z变换存在的条件：收敛域令，代入收敛域得到：0通常Z变换是一个有理函数在极点处Z变换不存在，因此收敛域内没有极点FT和ZT之间的关系：F变换0ejZ平面条件：收敛域中包含单位圆收敛条件对Z变换：显然F变换的收敛条件相对较严格，例如u(n)的F变换不存在，但Z变换就存在对F变换：例1：例2：X(z)收敛域不包含单位圆，故傅立叶变换不存在，引进奇异函数则其傅立叶变换可以表示出来注1：注2：一个序列的傅立叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是存在的（收敛域）2.5.2序列特性对收敛域的影响序列收敛域1，有限长序列•••••n0•••••••••••••••n0•••••••••••••••••••因果性n•••••••••••••••••••0非因果性非因果性例求的Z变换和收敛域。解：收敛域为几乎整个Z平面0其它2，（无限长）左序列0n0••••••••••••••••••••••••••非因果性0•n•••••••0•••••••••••••••••••非因果性序列收敛域解：存在要求收敛域为0ej例求的Z变换及收敛域。圆内部4，（无限长）双边序列0••••••••••••n••••••••••••••••非因果性收敛域序列双边序列可以表示成一个左序列和一个右序列之和假设，的收敛域是和收敛域的公共区域。如果,则收敛域为如果，两个收敛域没有公共区域，不存在。环例为实数，求的Z变换及收敛域.解＝的收敛域为，即的收敛域为，即如果公共区域为当，不存在。

-6-4-20246例1，已知试求Z反变换解：C当n-1时，围线内只有一个单阶极点当n-2时，围线内有一个单阶极点，还有极点z=0(-n-1阶）综合后，得到若在围线C以外,所有的极点集合为,m=1,2,.M留数定理的另一公式：留数计算同前利用本公式，对上例n-2下求x(n)较方便，只需计算围线外一个一阶极点z=4的留数。

（本公式应用的条件：要求的分母多项式z的阶次须比分子多项式的阶次高出二阶或两阶以上）则，还有后一项例2，X(z)同例1，但收敛域不同：试求Z反变换╳╳C解：当n0时，围线内有两个单阶极点和z=4当n<0时，由于分母的阶次已比分子高2阶或2阶以上，可用留数法第二公式：∵围线之外没有极点，∴留数=0；即x(n)=0最后得到其实，由于说明z=∞不是X(z)的极点，收敛域包括∞在内，那么x(n)必定是因果右序列。完全可以断明：x(n)=0,当n<0用留数法的注意点：①要对n进行分段：如n<0.n=0,n>0②围线以内查极点，不忘考察z=0，围线以外查极点，不忘考察z=∞二，查表法如教材P.51表2.5.1（注意收敛域）三，长除法（幂级数法）（对某些简单的左/右序列，可利用分式多项式直接相除）例1已知,求x(n)收敛域圆外部右序列z的降幂11•••••

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归纳得：例2已知,求x(n)收敛域圆内部左序列z的升幂1•••••

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∴∵四，部分分式展开法把X(z)有理式部分分式之和；分别求得各部分的反变换，相加即成总的x(n)展开成例题：设

试用部分分式展开法求Z的反变换解：原式=由于可查表2.5.1（第3条），得到除了以上几种方法之外，还可以利用Z变换的一些定理和性质来求解更复杂的反变换设只有N个一阶极点，可展开成：在的极点的留数是系数，在的极点的留数是系数适用于单阶极点的序列2.5.4Z变换的基本性质和定理1，线性（组合收敛域为各组分“相与”）例，若，试求它的Z变换解：我们已知从而可得：利用Z变换的线性特性最终得到：3，序列翻褶（z倒置)（收敛域界限--极点值成倒数）4，共轭序列证明：收敛域不变例求的Z变换知道=根据移位性5，X(z)尺度（与指数序列相乘）（收敛域放尺）证：6，X(z)微分（序列乘以n）证：7，序列卷积（Z域乘积）（收敛域为两者的“相与”）则（收敛域重迭过程中如发生零极点相消，还有可能使卷积后的收敛域扩大）若证：收敛域不变设y(n)=x(n)h(n)

则

由②得③由①③得正确确定围线C1所在的收敛域，查明C1包围哪些极点，这在复卷积计算中是很重要的

还可以证明得此时围线C2的收敛域为8，序列乘积（Z域复卷积）（新收敛域界限--极点值为两者相应乘积）证：①②

收敛域

解：我们知道利用复卷积公式其中得知收敛域：C1在围线C1内只有一个一阶极点试求例，设,证：所以9，初值定理若x(n)是因果序列，则10，终值定理若x(n)是因果序列，且X(z)除在z=1处可以有一个一阶极点外,其余极点全在单位圆内，则11，Parseval定理----关于时域频域的能量公式设那么平面上，所在的收敛域为证明：令由复卷积定理得按照假设条件，在收敛域中，把代入中所以定理得证，即如果和都绝对可和，即单位圆上收敛，可在上式中令便有令狭义Parseval公式广义Parseval公式2.5.5利用Z变换解差分方程N阶常系数线性差分方程为1.求稳态解如果输入序列是在以前时刻加上的，时刻的是稳态解，对上面差分方程求Z变换，得到其中求例已知其中，，，解：对差分方程两边求单边Z变换+零状态解零输入解利用Z变换分析信号和系统Z变换是分析离散信号和系统的重要方法，其特点是将信号或系统表述通过Z变换从时域转换到Z域（或者频域），进而使得分析、描述和处理简单化和明了化。利用单位园上的Z变换（离散序列傅氏变换），分析信号的频谱特性。利用Z变换分析线性时不变离散系统，主要通过研究系统的系统函数和传输函数来研究系统特性。传输函数定义：利用系统函数判断系统的因果性和稳定性线性时不变系统是因果系统的充要条件：h(n)=0，n<0。从而可得：线性时不变因果系统的H(z)的收敛域是包括∞点的某个圆的外部。即H(z)的极点一定在此圆的内部。线性时不变系统稳定的条件为：由此可得：稳定系统的系统函数H(z)的收敛域一定包含单位圆。综合因果性和稳定性条件，可得：稳定的因果系统的系统函数H(z)的收敛域为：利用系统函数零极点分布分析系统频率特性对物理可实现的系统，其系统函数总能分解为如下形式：即系统特性可由系统函数的零极点分布确定。系统频率特