名师课件：高中数学人教A版 必修 第一册 函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用

函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画呢？

我们学过的基本初等函数有一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数以及幂函数.它们都与现实世界有着紧密的联系,有着广泛的应用.例人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型.分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和平均增长率r.解：(1)由题意知y0=55196，设1950~1959年期间我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有由计算工具得因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为(2)利用(1)中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数，查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.解：(2)分别取t=1，2，···，8，由

可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数，如下表所示.年份19511952195319541955195619571958计算所得人口总数/万5641757665589406024361576629386433065753实际人数总数／万5630057482587966026661456628286456365994根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数的图象由上表和上图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数达到13亿？解：(3)将题意知y=130000，代入：由计算工具得：所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿.1、本题是应用已知的模型，解决实际问题.2、在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的使用条件.总结：上面涉及的实际问题，是应用已知的函数模型解决，接下来是根据问题的条件自己建立函数模型解决.例5、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：回报的累积值方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？1.考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么?想一想：方案一：每天回报40元；①例4涉及哪些数量关系？②如何用函数描述这些数量关系？思考下面的问题：投资天数回报金额③三个函数模型的增减性如何？④要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？每天的回报数、增加量、累计回报数思考：2.本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数描述这些数量关系?设第x天所得回报是y元,则方案一可用函数y=40(x∈N*)进行描述;方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述;方案三可以用函数进行描述。3.怎样去研究这三个函数,才能找到最佳的方案呢?要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析,用计算器计算出三种方案所得回报的增长情况,列表如下：x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.4……...…...…3040030010214748364.8107374182.4根据所列的表格中提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?方案一每天的回报不变;方案二、三每天的回报都在增加,且方案三随x的增加每天的回报越来越大,比方案二要大得多。作出三个方案的图象看看?oxy2040608010012014042681012我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。指数爆炸根据以上分析,你认为该作出何种选择?从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?累计回报表

天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8思考投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三。你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?[例6]

某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？1、销售利润达到10万元时进行奖励；2、奖金总数不超过5万元；3、奖金不超过利润的25%；4、公司总的利润目标为1000万元。从1和4知道只需在区间[10，1000]上检验三个模型是否符合公司的要求（即2和3两条）即可。1.如何利用它们的图象作出选择呢？2.这三种增长有什么不同呢？尝试作函数:y=0.25x,y=log7x+1,

y=1.002x，及y=5的图象.并思考:▲借助计算机作出它们的图象。通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？2004006008001000234567810①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符合要求;③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知