大学概率论及数理统计课件

概率论与数理统计任课教师：赵继红西北农林科技大学理学院Email:zhaojihmath@前言●课程介绍●学习该门课程的必要性概率论与数理统计研究随机现象规律性的理论研究如何有效地收集、整理、分析受随机因素影响的数据，从而对所研究的问题作出一定的结论的方法与理论应用1.专业课程学习的需要；2.科学研究和生产实践的需要。其中Def：设为实数，则定义并称为求和号，称为求和下标。2.求和号的性质（1）（2）（3）1.求和号●预备知识为实数，则定义并称为求积号，其中称为求积下标。（4）3.求积号Def设4.求积号的性质（1）（2）（3）5.乘法、加法原理，排列数与组合数甲乙火车2趟汽车50班甲乙丙4种5种第一章随机事件与概率

§1.1随机试验随机事件§1.2随机事件的概率§1.3概率的性质§1.4条件概率与事件的独立性§1.5全概率公式和逆概率（Bayes）公式§1.6贝努力概型与二项概率公式§1.1随机试验与随机事件一、随机现象与随机试验1.随机现象确定性现象在一定条件下必然出现唯一结果的现象在一定条件下由于概念不明确引起观察结果不确定的现象本课程研究对象在一定条件下观察结果至少有两个的现象客观世界中的现象不确定性现象随机现象模糊现象Def:在一定条件下，因不可控因素而导致实验或观察结果不唯一的现象称为随机现象。客观世界存在大量的随机现象。条件完全决定结果条件不能完全决定结果说明：（1）随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.（2）随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.如何来研究随机现象?随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?2.

随机试验

Def:为研究随机现象而进行的观察和试验统称为随机试验。随机试验通常用E来表示。随机试验必具备以下特点：（1）试验在相同条件下可以重复进行；（2）试验前由试验条件能明确试验所有可能结果，且所有可能结果至少有两个；（3）每次试验前不能预知该次试验的具体结果。下面看一些随机试验的例子：例1.1

抛掷一枚硬币,观察字面、花面朝上的情况；例1.2抛掷一枚骰子,观察出现的点数；

例1.3

从一批产品中,依次任选两件,记录出现的正品与次品；例1.4考察某地区10月份的平均降雨量；例1.5

记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数；例1.6

从一批灯泡中任取一只,测试其寿命。二、随机事件的概念

1.随机事件：随机试验E的可能结果称为随机事件，简称事件，常用大写英文字母来表示。随机事件在具体一次试验中有可能出现也有可能不出现，它具有不可预见性。如果随机事件在一次具体试验中出现了，就称该随机事件发生了。

2.事件的分类：（1）基本事件：满足试验目的、不能再分解的试验结果称为基本事件。如例1.1中“字面向上”，“花面向上”均是该试验的基本事件。基本事件经常也称为简单事件。（2）复合事件：由若干个基本事件共同在一起才能表达的试验结果。如掷骰子试验中“点数是偶数”就是一个复合事件。复合事件也称为复杂事件。（3）必然事件：随机试验中必然会出现的试验结果。（4）不可能事件：随机试验中必然不会出现的试验结果。3.样本点：随机试验可能出现的每一个基本事件称为该试验的一个样本点，记作。

样本空间：样本点的全体构成的集合称为该随机试验的样本空间，用“”表示。例如：例1.1的样本空间为：；例1.2的样本空间为：

；例1.3的样本空间为：，其中表示正品，表示次品；例1.4的样本空间为：为平均降雨量；例1.5的样本空间为：；例1.6的样本空间为：为灯泡寿命。

对于一试验，由于试验目的的不同，建立的样本空间也可能不同。例如将例1.3中的问题改为观察正品出现的个数，则样本空间为：。WBRemarks:事件的实质就是试验的结果，其为样本空间的子集；同一试验，由于试验目的的不同，相应的样本空间和常常有所不同；随机现象的统计规律性是该随机现象所涉及的事物本质特征的一种反映，揭示随机现象的统计规律性是概率论研究的主要任务；三、随机事件的关系及运算1.事件的包含关系

Def设为任意两个事件，若事件发生必导致事件发生，则称事件包含事件，记为。

例如：

在例1.2中，令表示掷得点数能被3整除；表示掷得的点数大于2。则。

如果有成立，也称为的子事件。

2.事件的相等（等价）关系

Def设为任意两个事件，若且，则称事件与相等或等价。记为。

例1.7中日篮球比赛，令表示中国队胜，表示日本队败，则。3.事件的和运算

Def设为任意两个事件,称“至少一个发生”这一事件为的和事件。记为或。ABA和运算性质：

（1）；（2）；（3）若，则。

推广：设为一个事件序列，则称“事件序列中至少有一个事件发生”这一事件为事件序列的和事件，记为：或。

4.事件的积运算

Def

设为任意两个事件，则称“同时发生”这一事件为的积事件；记为：或。积运算性质：（1）；（2）；（3）若，则。

推广：设为一事件序列，则称“事件序BBA+

ABAB列中每个事件同时发生”这一事件为事件序列的积事件，记为：或者

5.事件的差运算Def设为任意两个事件，则称“事件发生，而事件不发生”这一事件为事件与事件的差事件；记为或。差运算性质：（1）；（2）若，则；（3）。

6.事件的互斥（互不相容）关系Def设为任意两事件，若与在一次试验中不能同时发生，则称事件互斥。

例1.8

掷骰子试验中，令表示“掷出的点数是偶数”，表示“掷出的点数是奇数”，显然互斥。7.事件的对立关系

AB

Def设为任意两个事件,若互斥，且在一次试验中必有一个发生，则称互为对立事件。记的对立事件为

注：对立一定互斥，但互斥不一定对立。

例1.9取3粒种子做发芽试验，令表示“3粒均发芽”，表示“只有1粒发芽”，显然互斥，但不对立。8.互斥事件完备群

Def

设为一组事件，若任意两个事件互斥，且每次试验中必有其中一个发生，则称这组事件构成随机试验的一个互斥事件完备群。显然，互为对立的两个事件一定形成一个互斥事件完备群。互斥事件完备群形成样本空间的一个分割。后面概率的计算就是利用互斥事件完备群在一些情况下将复杂事件简化并计算其概率。

学了事件的运算后，给出几个重要概念的等价表示：

AB事件互斥

例1.10连续射击2次，观察各次中靶情况,令表示“第一次命中”,表示“第二次命中”,则表示“至少有一次命中”,表示“两次均命中”,表示“第一次命中而第二次未命中”。四、事件的运算律

1.交换律，2.结合律，3.分配律，4.对偶律（DeMorgan律）注：以上这些运算律均可推广到有限个事件的情形。事件对立îíìW=+Æ=BAAB事件组为互斥事件完备群

讨论事件之间关系和事件运算的目的是为了用简单事件来表示复杂事件。熟练的运用事件的关系和运算将复杂事件表达成为一些相对简单事件的运算式是将来计算复杂事件概率的基本手段。

例1.11设为某试验的三个已知事件，试用它们表达下列事件“恰有两个事件发生”，“都不发生”。解：“中恰有两个事件发生”为“中都不发生”为或。

例1.12设为三个已知事件，，试求事件的对立事件。解：由对偶律知

§1.2随机事件的概率

随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，我们希望找到一个数量指标来度量事件在一次试验中发生的可能性大小，这就是概率。也就是说，概率就是用来刻画随机事件在一次试验中发生可能性大小的一个数量指标。概率是人们在对随机现象认识不断深入的过程中，逐步建立和完善的概念。本节从4个角度分别给出概率的定义。一、古典概型中的概率定义

1.古典概型

Def随机试验E具有如下两个特征:(1)样本空间含有有限个样本点(基本事件)；(2)每个样本点（基本事件）出现的可能性相同，则称E为古典概率模型，简称古典概型。注：判断一试验是否是古典概型要看两个指标：样本点的个数的有限性；等可能性。2.概率的古典定义（1765.Laplace（法，1749－1827

））Def设为古典概型，样本空间含有个样本点，为内的任一事件，含有个样本点，则事件发生的概率为：由此不难看出，对于古典概型概率计算问题就是确定样本点计数问题，这就使得初等数学里的排列组合知识成为求解古典概型概率问题的常用的工具。

例1.13（匹配问题）某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中，求全部装对的概率。

解：设“全部装对”为事件，由于所有可能结果

，事件所含结果数所以有

例1.14有编号为的9件同型产品,试求下列概率:(1)从中任取1件，取得产品编号为偶数；(2)从中任取3件，求3件中仅有1件编号为偶数的概率。

解:

(1)表示“取得产品编号为偶数”，表示“取得产品的编号”，，，则(2)表示“取3件中仅有1件编号为偶数”，则样本点的总数，中包含的样本点数，所以

例1.15（彩票公平性问题）体彩中心发行一批体育彩票，有张有奖票，张无奖票，现一个一个抓奖，求第个人抓到有奖彩票的概率。

解：设表示“第个人抓到有奖彩票”，所有可能结果为：，包含的结果数是：。所以有在此题中，与抓奖次序无关，即不论第几个人抓彩票，抓到有奖票的概率均是相等的，这与平时生活经验一致，如在抽签、摸彩、抓阄活动中，各参与者机会均等，与次序先后无关。例1.16（占位问题）设现有个可容纳任意个小球的纸盒子，个小球（），欲将这小球随意放入纸盒中，试求解下列问题：(1)指定的个纸盒各有一个小球的概率；(2)个小球各占一个纸盒的概率。

解：设表示“指定的个盒内各有一个小球”；表示“小球各占一个纸盒”。显然，所有可能基本结果数为，且各结果机会均等。所含样本点数是:，所含的样本点是：，于是有注：生日问题、分房问题均可归结为此类问题。

由以上例题可以看出古典概率有如下性质：

（1）对任意随机事件，则；（2）对必然事件，有；（3）若事件两两互斥，则二、几何概型中的概率定义

1.几何概型Def随机试验E满足:(1)样本空间为某一有界可度量的区域，即样本空间无限但有界；(2)其样本点均匀分布，即每个样本点出现的可能性相同，则称E为几何概率模型，简称几何概型。在此的“等可能性”应理解为落在某区域的可能性与该区域的测度（长度、面积、体积等）成正比，而与位置形状无关。

2.概率的几何定义

Def设为几何概型，其样本空间的度量为，为内任意随机事件，的度量是，则事件发生的概率定义为：

注：该定义中，不一定是平面区域，它可以是任意维空间中的某个可度量区域，求几何概率的关键是确定样本空间形成区域及事件的样本点形成的子区域。

例1.17（约会问题）甲乙二人相约6:00-6:30在预定地点会面，规定先到的人要等候另一人10分钟后方可离去。已知甲乙二人在6:00-6:30内任意时刻到达预定地点的机会是均等的。求甲乙二人能会面的概率。

解：设A表示甲乙二人能会面，甲乙二人到达预定地点时刻分别为

及

（分钟）,则，二人能会面以6:00作为原点建立坐标系，那么，该问题如右图所示。从而有30301010注：在约会问题中，一般总希望见面的概率大一些，这就要求相互等的时间长一些，而轮船停泊却相反，希望不碰面的机会大些，这就要求相互等的事件短一些。例1.18设公共汽车每5min一趟，求一乘客随机来到车站等车不超过2min的概率。

解：设表示“乘客候车不超过2min”，设乘客到站时为，他到站后来的第一辆车到站时间为，则乘客在与间任一时刻到站是等可能的，则样本空间为直线区域。，则

由以上两个例题可以看出几何概率有如下性质：

（1）对任意随机事件，则；（2）对必然事件，有；（3）若事件两两互斥，则三、概率的统计定义(无非是通过试验去估计事件概率的方法)1.频率

Def将试验在相同条件下重复进行次，若事件在次中发生了次，称为事件发生的频数，比值称为发生的频率，记作：，即

显然，频率具有下列性质：（1）；（2），；（3）设为互斥事件，则有。由于频率是一种经验值，随着试验次数的变化，频率也在变化，但若试验次数足够大，频率会呈现出某种稳定性，即事件发生的频率在某固定值附近摆动，该固定值称为频率的稳定值。为验证这一点，历史上曾有不少人做过试验，如抛掷硬币试验的数据(见书11页),由试验数据知，若抛掷的次数增多，出现字面和花面的频率愈接近0.5，即频率的稳定值为0.5，则有引入频率的概念，由其出发引入概率的统计定义2.概率的统计定义

Def设在相同条件下进行次试验，事件发生的频率稳定地在某一常数附近摆动，且越大摆动幅度越小，则称为事件的概率，记为：。3.事件的频率与概率的联系（1）若概率越大，则频率也越大；同样地，若频率越大，则概率同样越大；（2）频率具有稳定性，频率的稳定值就是概率。概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用于所有随机试验。优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概率的近似值；但也存在其局限性，由于试验次数要求足够多，在实际中并非对于所有试验都好，特别是对于破坏性试验。概率的统计定义的重要性在于以下两点：一是提供了一种估计概率的方法；例如，在工业生产中，依据抽取的一些产品的检验去估计产品的废品率；二是提供了一种检验理论正确与否的准则（诉诸试验，检验概率计算的正确与否）。——假设检验——数理统计学的重要分支。1933年（前）苏联数学家柯尔莫哥诺夫（Kolmogorov）在总结前人成果的基础上，抓住概率本质特性，提出了概率公理化定义，为概率论的发展奠定了理论基础。1.概率的三条公理

公理1（非负性）对的任一事件，有；

公理2（规范性）对的必然事件，有；

公理3（可列可加性）对的两两互斥事件，有

2.概率的公理化定义Def设是的样本空间，若对中的任一事件，均有一实数与之对应，且满足概率的三条公理，则称为随机事件的概率。四、概率的公理化定义Remarks.概率是事件的函数（事件有概率，其大小随事件而异）；柯氏公理只是界定了概率这个概念所必须满足的一些一般性质，它没有也不可能解决在特定场合下如何计算概率的问题；柯氏公理的意义在于它为一种普遍而严格的数学化概率理论奠定了基础（在为数很少而且极为简单的公理基础上建立起概率论这座宏伟的大厦）。§1.3概率的性质

由概率的公理化定义，可以推导出概率的一些重要性质，灵活应用这些性质可计算复杂事件的概率。

性质1.

证明：因为，由公理2和公理3知

所以有

性质2.若为的两两互不相容事件，则有

性质3.若为的任意两事件，且，则有（1）；（2）。证明：（1）由知且由性质2知，即nAAA,,,21L（2）由公理1知，则由（1）有。

性质4.若为的任一事件，为事件的对立事件，则有证明：因为是的对立事件，所以，则由公理2知：,即。

性质5.（加法公式）若为的任意两事件，则证明：因为所以由性质2知又，所以因此

特别地，若互斥，则该公式可以推广到任意多个事件的情况，对三事件有：

以上这些概率的性质为概率的计算提供了一个途径，特别是求解复杂事件的概率时，一般先利用事件之间的关系，将复杂事件用简单事件表示出来，然后再用概率的性质计算。

例1.19

袋中有20个球，其中15个白球，5个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率。

解：设表示至少取到一个白球，表示恰好取到个白球，，则两两互斥，由古典概型和概率的加法公式有（解法2）又，由古典概型和对立事件概率的性质有

例1.20为任意两事件，若，，求。

解：

又因为所以即

课堂练习：

1.为任意两事件，，，，求：。2.为任意事件，当同时发生时，必发生，则（A）（B）（C）（D）答案：，B§1.4条件概率与事件的独立性一、条件概率前面讨论了某事件发生的概率的定义及计算，但实际中会碰到这样的情况，在某随机试验中，在某一事件已经发生的条件下求另一事件发生的概率。如掷骰子试验，观察出现的点数，若A表示出现2点，B表示出现偶数点，则，但若在出现偶数点的条件下确定A出现的概率，则此时的概率为1/3。由此引入条件概率的定义。1.条件概率的概念（由概率的统计定义容易验证）

Def为同一个随机试验的任意两个随机事件，且满足条件，则称为在事件发生条件下，事件发生的条件概率。例1.21设为任意两事件，且，证明：。

Proof:

同样地，也有概率的所有性质，如若，则

2.条件概率的计算

（1）利用公式将条件概率转化为无条件概率；（2）对于具有等可能性的古典概型、几何概型采用压缩样本空间法计算，即用下式计算：例1.22某种动物出生后能活到20岁的概率为0.7，能活到25岁的概率是0.56，现有一只20岁的该动物，问它能活到25岁的概率。

解：设表示该动物能活到20岁，表示该动物能活到25岁，显然有，所以，由条件概率的定义知例1.23已知某批日光灯管能用1200h的概率为0.9，能用1500h的概率为0.6，求已用了1200h的该灯管能用到1500h的概率。

解：设表示灯管寿命大于等于1200h，表示灯管寿命大于等于1500h，则显然有，所以，由条件概率的定义知例1.24从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞。求所抽出2张都是假钞的概率。解：设表示“抽出的2张全是假钞”，表示“抽出的2张中至少1张是假钞”，显然有，所求概率为。由古典概型有

所以有

注：与的联系与区别

（1），则有；

（2）指同时发生的概率，指在先发生的情况下，发生的概率。二、概率的乘法公式利用条件概率定义容易获得积事件概率的计算公式，即概率乘法公式

乘法公式：设为随机试验的任意两个事件，且满足和，则有

概率的乘法公式可以推广到任意有限个事件积的情况：

设为任意个事件，且，则下式必成立个事件的概率的乘法公式并不仅有以上的形式。对个事件，乘法公式有个。请大家对的情况写出这些公式，并注意观察其规律。

例1.25一批产品100件，其中10件次品，现从中任取一件，不放回连续取2次，求第二次才取到合格品的概率。

解：设表示第次取到合格品，，所求概率为：则由概率的乘法公式有：

例1.26

某人打算外出旅游两天，需要知道两天的天气情况，据预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1，求第一天下雨时，第二天不下雨的概率。

解：设与分别表示第一天和第二天下雨，则例1.27袋中有一白一黑两球，从中随机取一球，若是白球，则将其放入并再加一白球，然后再抽，若仍是白球，仍同样处理，如此进行，直到取到黑球为止，求第次抽到黑球的概率。解：设表示第次抽到黑球，，则所求概率为：，则由概率的乘法公式知：

练习：5人抓阄分一张电影票，证明每个人得到电影票的概率均为1/5。三、事件的独立性对随机事件，若发生对发生与否不产生任何影响，则说明事件无任何关系，则一定有，由条件概率的公式知：。由此引入事件的独立性.1.事件独立的定义

Def设为任意两事件，若满足，则称事件相互独立，简称独立。

2.独立的性质

Th

对事件，若相互独立，则；；也独立。

Proof:由独立知：同理可证另外两个也成立。3.事件独立的等价表达式（1）对任意两事件，其中，则独立。（2）对任意两事件，其中，则独立。Proof:由于独立，则也独立。所以有由于，即所以有：

即

)()()()()()()(BPAPAPABPAPABAPBAP-=-=-=类似地，可以给出三个事件独立性的定义如下：

Def为任意3事件，若其两两相互独立，并满足：，则称相互独立。若个事件，相互对立，即任意个事件均相互独立，条件共有个。

注：①两两相互独立不一定独立，独立一定两两相互独立；②个事件相互独立，则其中任意个事件也独立③相互独立，则任意有限事件一定独立。

例1.28乒乓球单打比赛规定，在7局中先胜4局者胜，甲乙二人进行比赛，甲胜的概率为0.6，前3局比赛甲以3:0暂时领先，求甲最终取胜的概率。

解：设表示甲最终取胜，表示第局甲胜，方法1：解法二：

例1.29（伯恩斯坦反例）一个均匀的正四面体，第一面涂成红色，第二面涂成白色，第三面涂成黑色，第四面红、白、黑各涂1/3，将其上抛，观察着地面的颜色。记分别表示着地面出现红、白、黑这一事件，问是否独立。

解：由于正四面体红白黑各出现在两面上，因此有：又有题意知：从而有所以两两相互独立，又所以不独立。§1.5全概率公式和逆概率(Bayes)公式在概率计算时，总希望从已知简单事件的概率推算出未知复杂事件的概率，而复杂事件的发生可能有多种原因，即可能伴随多个简单事件的发生，若能将复杂事件发生与一组两两互不相容的简单事件联系起来，则可利用概率的可加性计算复杂事件的概率，这里全概率公式和逆概率(Bayes)公式作用重大。一、全概率公式

Th1设为的一个互斥事件完备群，若，则对的任意事件有成立，则称此式为全概率公式。

Proof:由互斥事件完备群的定义知：则对中的任意事件有由于两两互斥，且由概率的加法和乘法公式知：

注：

①由诸多原因引发某种结果，而结果又不能简单地看做这些事件的和，该类问题属全概率公式的研究范围。②用全概率公式求解概率问题的关键是找互斥事件完备群，一般用找原因的方法找互斥事件完备群较方便，即互斥事件完备群是导致发生的原因。

例1.30一袋中有a只红球b只白球，甲乙二人依次从中各取一球，求：（1）甲取得红球的概率；（2）乙取得红球的概率。解：设表示甲取得红球，表示乙取得红球，则

（1）

（2）

例1.31一商店出售的某型号电子管是由甲、乙、丙三厂生产的，甲、丙两厂产品各占25%，乙厂占50%，已知甲、乙、丙三厂的合格率分别为0.9，0.8，0.7，试求任取一电子管是合格品的概率。解：设表示取得的电子管是合格品，分别表示该电子管由甲、乙、丙厂生产。则由题意知：

例1.32甲乙丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,又知飞机被一人击中坠毁的概率是0.2,被2人击中坠毁的概率是0.6,被3人击中必坠毁,求飞机坠毁的概率.解:设表示有个人击中飞机,,分别表示甲乙丙击中飞机,则,,.又由于,,所以令D表示飞机坠毁，从而由全概率公式有:

全概率公式可以进一步推广为：设是随机试验的E的两两互斥的一组事件（n可以趋于∞），二、逆概率（Bayes）公式

Th2

设为E的一互斥事件完备群，为的任意事件，且，则有该公式称为Bayes公式，其中为先验概率，称为后验概率。例1.33发报台分别以0.6，0.4的概率发出信号“·”和“-”，由于通讯系统受到干扰，当发出“·”时，收报台未必受到“·”，而分别以0.8和0.2的概率受到“·”和“-”；发出“-”时，分别以0.9和0.1的概率收到“-”和“·”。求：（1）收报台收到“·”的概率；（2）收报台收到“·”时刚好发报台发出的是“·”的概率。

解：设表示发出“·”，表示发出“-”，表示收到“·”。则，，（1）

（2）

例1.34根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下效果：若以表示“试验呈阳性”，用表示“被诊断者患有癌症”，则有，现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即，试求：试验呈阳性条件下，被试验的人患有癌症的概率，即。

解：因为