《抛物线》同步练习（） 精品获奖

《抛物线》同步练习【A级】基础训练1．(2022·高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，由题意得eq\f(p,2)＝2，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，故选B.答案：B2．(2022·东北三校模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p的值为()A．2 B．18C．2或18 D．4或16解析：设抛物线上一点(x，y)，由题意知y＝6，x＋eq\f(p,2)＝10，∴62＝2p(10－eq\f(p,2))．解得p＝2或18.答案：C3．(2022·高考课标全国卷)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()\f(4,5) \f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2x－4))得x2－5x＋4＝0∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(FB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·\o(FB,\s\up6(→)),|\o(FA,\s\up6(→))|·|\o(FB,\s\up6(→))|)＝eq\f(－8,5×2)＝－eq\f(4,5).答案：D4．(2022·广东汕头模拟)已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________．解析：由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即m＋|PC|＝eq\r(－3－22＋－42)＝eq\r(41).答案：eq\r(41)5．(2022·山西省忻州市高三联考)点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a＞0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是________．解析：抛物线x2＝ay的准线方程为y＝－eq\f(a,4)，由题意得3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)))＝6，a＝12，∴x2＝12y.答案：x2＝12y6．(2022·南京市高三模拟)若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为eq\r(3)，则M到该抛物线焦点的距离为________．解析：设M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝3，,y2＝2x，))解得x＝1，或x＝－3(舍去)，根据抛物线的定义，M到抛物线焦点的距离为d＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)7．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c设抛物线方程为y2＝4c·x∵抛物线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6))).∴6＝4c·eq\f(3,2)，∴c＝1.故抛物线方程为y2＝4x.又双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,b2)＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,1－a2)＝1.∴a2＝eq\f(1,4)或a2＝9(舍)．∴b2＝eq\f(3,4)，故双曲线方程为：4x2－eq\f(4y2,3)＝1.8．(2022·山东烟台二模)已知以向量v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))为方向向量的直线l过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C的方程；(2)设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋p2＝0(O为原点，A、B异于两点)，试求点N的轨迹方程．解：(1)由题意可得直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(5,4)，①过原点垂直于l的直线方程为y＝－2x.②解①②得x＝－eq\f(1,2).∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，∴－eq\f(p,2)＝－eq\f(1,2)×2，p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)，由题意知y＝y1.由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋p2＝0得x1x2＋y1y2＋4＝0，又yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2，解得y1y2＝－8，③直线ON：y＝eq\f(y2,x2)x，即y＝eq\f(4,y2)x.④由③④及y＝y1得点N的轨迹方程为x＝－2(y≠0)．【B级】能力提升1．(2022·高考安徽卷)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()\f(\r(2),2) \r(2)\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)解析：由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2eq\r(2).设AB的方程为x－1＝ty，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－1＝ty))消去x得y2－4ty－4＝0.∴y1y2＝－4.∴y2＝－eq\r(2)，x2＝eq\f(1,2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×1×|y1－y2|＝eq\f(3\r(2),2)，故选 C.答案：C2．(2022·高考辽宁卷)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()\f(3,4) B．1\f(5,4) \f(7,4)解析：(如图)过A、B及线段AB中点C向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1、B1、C1，CC1交y轴于C0.由抛物线定义可知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|，∴|CC0|＝|CC1|－|C1C0|＝eq\f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)－|C1C0|＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，故选C.答案：C3．(2022·高考湖北卷)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()A．n＝0 B．n＝1C．n＝2 D．n≥3解析：抛物线与等边三角形都是轴对称图形，由题意知，x轴为它们的一条公共对称轴，所以过焦点F且倾斜角分别为30°、150°的两条直线与抛物线的交点分别为正三角形的另两个顶点．如图，故在焦点两侧能形成两个正三角形．故选C.答案：C4．(2022·开封质检)已知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过已知抛物线上一点P(1,2)作PQ⊥l于Q，则抛物线的焦点坐标是____________；梯形PQRF的面积是________．解析：代入(1,2)得a＝2，所以抛物线方程为x2＝eq\f(1,2)y，故焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).又Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,8)))，|FR|＝eq\f(1,4)，|PQ|＝2＋eq\f(1,8)＝eq\f(17,8)，所以梯形的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(17,8)))×1＝eq\f(19,16).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))eq\f(19,16)5．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升eq\f(1,2)米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，故方程为x2＝－8y，水面上升eq\f(1,2)米，则y＝－eq\f(3,2)，代入方程，得x2＝－8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝12，x＝±2eq\r(3).故水面宽4eq\答案：4eq\r(3)6．(2022·济南模拟)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．解析：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，联立方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋b＝0，))即3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，求得b＝－eq\f(4,3)，所以切线方程为4x＋3y－eq\f(4,3)＝0，则切点到直线4x＋3y－8＝0的距离也就是所求 的最小值，此最小 值也即为两直线间的距离，为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－8＋\f(4,3))),5)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)7．(2022·河南洛阳期中考试)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝4eq\r(2).(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且eq\o(MA,\s\up6(→))＝aeq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝beq\o(BF,\s\up6(→))，对任意的直线l，a＋b是否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．解：(1)联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x,x2＝2py))得x2－2px＝0，故O(0,0)，N(2p,2p)，∴|ON|＝eq\r(4p2＋4p2)＝2eq\r(2)p，由2eq\r(2)p＝4eq\r(2)得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y＝kx＋1，则直线l与x轴交点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，0))记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,x2＝4y))得x2－4kx－4＝0，∴Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)＞0，∴x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4.由eq\o(MA,\s\up6(→))＝aeq\o(AF,