初等多值函数

第一节解析函数的概念

与柯西—黎曼条件1.1复变函数的导数与微分1.2解析函数及其简单性质1.3柯西—黎曼条件1.4小结与思考11.1复变函数的导数与微分1.导数的定义:定义2.12在定义中应注意:3例1解42.可导与连续的关系:函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证5[证毕]例2解(1)f(z)=z的连续性显然6例3解78例4解9103.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:11124.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.定义+13特别地,141.解析函数的定义定义2.2z0记作：f(z)A(D)DG1.2解析函数的概念15根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是函数解析比可是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多即函数在z0点解析函数在一点处解析与在一点处可导不等价函数在z0点可导函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价即函数在闭区域上解析函数在闭区域上可导说明162.奇点的定义定义2.3例如:以z=0为奇点:通常泛指的解析函数是容许有奇点的:例5解由本节例1和例3知:171819例6解20例7解2122课堂练习答案处处不可导,处处不解析.23定理以上定理的证明,可利用求导法则.24根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.通过上述用定义讨论函数的解析性，我们深深地体会到：用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！寻求研究解析性的更好的方法任务！！！251.3C-R条件目的：研究复变函数w=f(z)可微或解析的条件。研究函数解析性的利器引言：设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则函数w=f(z)的连续性由u(x,y),v(x,y)连续性唯一确定。那么w=f(z)的解析性与u(x,y),v(x,y)之间有什么关系呢？先看如下例子设w=z=x-iyu(x,y)=x,v(x,y)=-y则：u(x,y)=x,v(x,y)=-y对x,y的一切偏导数都存在且连续，但是w=z却是一个处处不可微的函数由此说明：有必要探讨函数w=f(z)的可微（解析性）与u(x,y),v(x,y)之间的进一步的关系26D函数w=f(z)的在一点处的可微与u(x,y),v(x,y)之间的关系假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某一点z=x+iy可微代数化图2.1z+∆xzx

y0

z·2.4因为∆z=∆x+i∆y无论按什么方式趋于零,(2.4)总是成立的,于是，我们可让变点z+∆z分别沿着平行于实轴与虚轴的方向趋于点z

，即分别让（y=0,∆x0）

（x=0,∆y0）,从而可得z+i∆y27称为Cauchy-Riemann条件，简称C-R条件定理2.1(可微的必要条件)

设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义,且在D内一点z=x+iy可微,则必有:(1)偏导数ux,uy,vx,vy在点(x,y)存在;(2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足C-R条件:

ux=vy

uy=-vx

柯西介绍黎曼介绍28例8证注：定理2.1中的条件是必要而不是充分的29将定理2.1中的条件适当加强就得到可微的充要条件30定理2.2(可微得充要条件)31

代数化

证(1)必要性.3233(2)充分性.由于3435[证毕]36定理2.3函数在一点可微的充分条件372.函数w=f(z)的在区域的可微性（解析性）(x,y),v(x,y)之间的关系定理2.4(函数在区域D内可微的充要条件)38定理2.5函数在区域D内解析的充要条件393.解析函数的判定方法:404.例题选讲例9判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足柯西－黎曼方程,41四个偏导数均连续指数函数42四个偏导数均连续43例10证4445例11解46例12解47课堂练习答案48例6证49参照以上例题可进一步证明:50例7证根据隐函数求导法则,51根据柯西－黎曼方程得52例8证5354三、小结与思考在本课中我们得到了一个重要结论—函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.55思考题56思考题答案放映结束，按Esc退出.57思考题58思考题答案反之不对.放映结束，按Esc退出.591.4小结与思考理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.

注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.60Riemann黎曼资料Born:17Sept1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)

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