必修二直线与平面垂直的判定

2.3.1

直线与平面垂直的判定新课导入请同学们观察图片,说出旗杆与地面是什么位置关系？请同学们观察图片,说出大桥桥柱与水面是什么位置关系？旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

旗杆与地面、大桥桥柱与水面以直线和平面垂直的形象.那么直线和平面垂直的定义究竟是什么？怎么样判断它们垂直？（1）如图，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线a的位置关系又是什么？观察CC1B1ABCC1B1AB可以观察到，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直。也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直。事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条直线垂直。直线与平面垂直的定义:

如果直线l

与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l

与平面α互相垂直，记作：l⊥α。αPl直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线l与平面α的交点P叫做垂足。直线和平面垂直的画法αPl注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形横边垂直。在长方体ABCD-A‘B’C‘D’中，AA‘⊥面ABCD，AA’⊥面A‘B’C‘D’，AB⊥面ADD‘A’，AB⊥面BCC‘B’，AD⊥面AA‘B’B，AD⊥面CDD‘C’。探究如下图，请同学们准备一块三角形的纸片。过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面α垂直？结论：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。（1）如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？思考baα不能判定这条直线和这个平面垂直（2）如果一条直线垂直于平面内的两条垂直，

能否判断这条直线和这个平面垂直？baαbaαc如果两条直线平行不能判定如果两条直线相交能够判定（3）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？baα也不能判定这条直线和这个平面垂直直线和平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示：图形表示：简述为：线线垂直，则线面垂直线不在多，重在相交例一如图，已知

，求证：

。根据直线与平面垂直的定义知a⊥m,a⊥n。又因为b//a,所以b⊥m,b⊥n。又是两条相交直线，所以b⊥α。证明：在平面α内作两条相交直线m，n。因为直线a⊥α，如图，在正方体AC1中，求证：(1)AC⊥平面D1DB;(2)D1B⊥平面ACB1。例二C1BD1ACA1DB1证明：(1)∵DD1⊥面AC∴DD1⊥AC又∵AC⊥BD,∴AC⊥平面D1DB。(2)的证明大家自己完成。如图，已知OA、OB、OC两两垂直求证：（1）

OA⊥平面OBC;（2）求证：OA⊥BC。BCOA分析：（1）要证OA⊥平面OBC，必须在平面OBC中找出两条与OA垂直的相交直线.因为OA、OB、OC两两垂直OA⊥OB、OA⊥OC,且OB∩OC=O；（2）OA⊥平面OBC，OA垂直平面内任意一条直线。例三直线和平面所成的角：如图所示，一条直线PA和平面α相交，但不垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。

斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。PAO若直线垂直于平面，规定它们所成的角是90°的角，为直角；若直线与平面平行或在直线内，规定它们所成的角为0°的角。注意：p点为斜线上任意一点，p点的不同不会影响直线与平面所称的角。PAO故直线与平面所称的角的范围是：（0，）C1BD1ACA1DB1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1D与平面ABCD所成的角是多少？找出这个角，并计算其度数。∠B1DB即为所求角，它的正弦为。课堂小结证明直线与平面垂直的方法：（1）利用定义:（2）利用判定定理:线线垂直线面垂直直线与平面内每条直线都垂直关键：线不在多，相交则行。PAO

斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。范围是：（0，）。随堂练习1.

判断题：FTT（）（）（）

2.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC。ABCV分析：

（1）要证线线垂直，首先证线面垂直即证明其中一条直线垂直于经过另一条直线的的平面。

（2）AC⊥VB所在的面，应该是哪一个面？给出VA=VC，AB=BC可以知道△VAC与△BAC都是等腰三角形。D

3.如图，直四棱柱A’B’C’D’-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A’C⊥B’D’？

结论：当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，A’C⊥B’D’。AD'BB'CC'DA'

4.有一根旗杆PO高4m，它的顶端P挂有一条长5m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)A、B,如果这两点和旗杆脚O的距离都是3m，那么旗杆就和地面垂直,为什么？αPAOB解：如图，旗杆ＰＯ＝８ｍ，两绳长ＰＡ＝ＰＢ＝１０ｍ，ＯＡ＝ＯＢ＝６ｍ。因为Ａ，Ｏ，Ｂ三点不共线，所以A，O，B三点确定平面α。因此，旗杆OP与地面垂直。又因为所以又因为所以ABCDOP

5.如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD。求证：PO⊥平面ABCD。分析：∵AO=CO，PA=PC，∴PO⊥AC。同理PO⊥BD，又∵AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD。

6.在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线AC⊥BD。ABCDE分析：高考链接

1.(2007天津)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，C⊥CD，ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点。(Ⅰ)证明CD⊥AE；(Ⅱ)证明PD⊥平面ABE。【解析】(Ⅰ)证明：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD。∵AC⊥CD，∴PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC。而AE平面PAC，∴CD⊥AE(Ⅱ)证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得A