第五章有限元分析方法

现代机械设计方法

机电工程学院机械制造及自动化系2009年5月20日第五章有限元分析方法什么是有限元法连续问题转换为规则离散区域计算的方法有限元法的发展早期应用名词提出有限元法应用的领域

航空航天、航海船舶、道路桥梁、电子工业、机械加工等众多领域有限元应用范围结构分析流体及空气动力学分析电场及磁场分析线性分析非线性分析第五章有限元分析方法5.1

有限元分析方法的基本概念有限元分析方法的基本步骤：一、物体离散化二、单元特性分析三、单元组集四、求解未知节点位移5.1有限元分析方法的基本概念

有限元法的基本思想：

采用单元将实际上连续的弹性物体离散化，并且各单元彼此之间以节点联结，单元上选取简单的函数组合作为位移模型，利用弹性力学的变分原理来获得单元的运动方程组。然后，按照一定的规则把所有单元的运动方程组集合起来，经适当的边界条件处理，便得到整个物体的总体运动方程组。最后，选择适当的方法来求解总体运动方程组，问题的解答将在物体各离散点上给出。有限元法的基本思想：连续体的离散化选取单元的位移模型建立单元的运动方程经整体集合建立总体运动方程求解运动方程计算结构的应力应变或其它动力学特性5.1有限元分析方法的基本概念有限元法的关键步骤分析：（1）连续体的离散化

用一些假想的面或线将物体所占据的空间区域分割成一系列的子区域，每个子区域就叫做单元或元素。各单元彼此之间仅在有限的指定点(称为节点)处相互连接。三个方面：

a)连续体本身的离散化

b)作用于连续体上的力系离散化

c)边界条件的离散化

5.1有限元分析方法的基本概念有限元法的关键步骤分析：板梁结构的离散化5.1有限元分析方法的基本概念连续体的离散化需要注意的几点：1）单元的密度

（单元越密、节点越多，精度越高，计算量越大。机械结构有限元动力学分析，计算固有频率和振型，可以将考虑将网格划分得粗一些。）2）采用疏密不等的网格划分方法。3）在采用三角形单元时，要尽量使每个三角形单元边长不要相差过大，不要出现过尖、过钝的内角，避免计算结果出现大的误差。4)要尽量将单元的节点和单元边界设置在几何形状、材料特性和载荷发生突变处。5.1有限元分析方法的基本概念有限元法的关键步骤分析：（2）选取单元的位移模型

为了确定单元内任意点M在坐标轴方向上的位移，必须假设一个位移函数，以使点M的位移由单元节点位移通过位移插值函数来获得。多项式便于微分和积分，增加多项式的阶数可以改善结果的精度，所以位移插值函数大多选用完全的多项式形式：

多项式的待定系数由节点位移来确定，待定系数的数目和单元的自由度数目相同。5.1有限元分析方法的基本概念有限元法的基本思想：（2）选取单元的位移模型

例：三节点三角形平面单元（每个节点两个位移分量，三个节点共六个自由度，所以多项式包含六个待定系数，每个位移分量各取三项）

例：平面梁单元5.1有限元分析方法的基本概念5.2有限元法中单元特性的导出方法一直接方法运用基本定义直接推导单元特性（单元刚度矩阵）5.2有限元法中单元特性的导出方法一直接方法运用基本定义直接推导单元特性（单元刚度矩阵）单元的节点位移列阵：单元的节点力列阵（载荷列阵）：弹性小位移条件下，单元的有限元方程：一直接方法kij表示j号节点的单位位移对i号节点力的贡献。由功的互等定理有kij=kji

，所以单元刚度矩阵是对称的。5.2有限元法中单元特性的导出方法一直接方法5.2有限元法中单元特性的导出方法例如：若假设由梁的变形公式得：挠度：倾角：解得：根据平衡条件可以求得：一直接方法5.2有限元法中单元特性的导出方法平面弯曲梁单元的单元特性矩阵（刚度矩阵）5.2有限元法中单元特性的导出方法二虚功原理法1设定位移函数5.2有限元法中单元特性的导出方法二虚功原理1设定位移函数5.2有限元法中单元特性的导出方法二虚功原理1设定位移函数二虚功原理1设定位移函数5.2有限元法中单元特性的导出方法5.2有限元法中单元特性的导出方法二虚功原理1设定位移函数5.2有限元法中单元特性的导出方法二虚功原理1设定位移函数单元内某点的位移用节点位移插值表示的多项式：：形状函数5.2有限元法中单元特性的导出方法二虚功原理2由位移函数求应变有弹性力学可知：5.2有限元法中单元特性的导出方法二虚功原理3由应变求应力5.2有限元法中单元特性的导出方法二虚功原理4由虚功原理求单元的刚度矩阵根据虚功原理，当结构受载荷作用处于平衡状态时，在任意给出的节点虚位移下，外力(节点力)所做的虚功及内力所做的虚功之和应等于零。5.2有限元法中单元特性的导出方法二虚功原理平面应力问题的三角形单元刚度矩阵5.3有限元法的解题步骤有限元法的解题步骤（结构应力分析为例）

一、单元剖分和插值函数的确定二、单元特性分析三、单元组集四、解有限元方程

五、计算应力

5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例1.单元剖分上方：节点序号下方：节点位移序号5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例2.单元特性分析5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例2.单元特性分析KK5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例2.单元特性分析5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例2.单元特性分析5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例3.单元组集把单元①,②组合起来,形成原结构的整体。因为各个节点是处于平衡状态的,所以节点1,3的内力Fy1,Mz1和Fy3,Mz3分别等于节点1,3处的支反力和支反弯矩。5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例3.单元组集组集后，外力为：5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例3.单元组集组集后，右端项为：5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例3.单元组集由单元的形式表示为：5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例3.单元组集从单元刚阵组集成全结构总刚阵，就是将各个单元的对应于各自由度的刚度系数，按原节点自由度对应的行号和列号对号入座，填入全结构总刚阵相对应的行号和列号的位置中去。对于几个单元共用的节点，则应将这几个单元对应于该节点各自由度的刚度系数相加，作为全结构刚阵中该节点自由度的刚度系数。而在没有刚度系数与之对应的地方，就填入0。5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例4.求解变形边界条件处理因为由结构支承条件给出两端为刚性固支：对于固支的自由度可以直接消除掉行和列。5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例4.求解变形边界条件处理之后的方程：两端固定梁中点的挠度和倾角：5.3有限元法的解题步骤六用梁单元进行计算的实例5.求解支反力和应力可将已求得的、的数值以及一起代入方程组即可。5.3有限元法的解题步骤七、用三角形单元计算的实例（理解利用对称性降低求解难度和提高求解精度）5.4结构分析的有限元法一矩形单元二薄板弯曲问题如板的厚度t与板在其他两方向的尺寸之比小于1/15时，可认为是薄板。对一般机器箱体、支承件等，在用有限元计算将其离散为单元时，大都采用这类薄板单元。5.4结构分析的有限元法二薄板弯曲问题薄板弯曲问题在小变形时有如下的基本假设：1)法线假设——在板变形前垂直于中面的法线段,在板变形后仍然垂直于弯曲了的中面。法线假设类似于梁弯曲的平截面假设;2)正应力假设——在平行于中面的截面上,正应力可忽略不计；3)小挠度假设——板的中面只发生弯曲变形,且挠度很小。假设中面内各点没有平行于中面的变形。5.5结构动力学问题的有限元法一结构的动力学方程完整的动力学方程求解的难度和意义简化的求解方法求解的实际意义

动力学问题的有限元法也同结构静力学问题一样，要把物体离散为有限个数的单元体。在考虑单元特性时，物体所受到的载荷还要考虑单元的惯性力和阻尼力等因素。

一般地，单元的刚度矩阵，质量矩阵和阻尼矩阵可以分别表示为：5.5结构动力学问题的有限元法

单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，要用来形成整体的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。在不考虑体积力的条件下，整个结构的动力学方程为：当f=0,c=0时得到自由振动时的无阻尼动力方程常系数线性齐次常微分方程组，令其解为：5.5结构动力学问题的有限元法代入方程得到：得到齐次的线性代数方程组

N阶自由度系统的自由振动方程应有n个固有频率i=1,2,3,…n

全部频率从小到大按顺序排列起来得到频率向量5.5结构动力学问题的有限元法各阶主振型存在正交特性。二单元的质量矩阵一致质量矩阵集中质量矩阵5.5结构动力学问题的有限元法5.5结构动力学问题的有限元法三

结构系统动力学问题的有限元解法求解系统特征值问题的方法：雅可比方法、幕迭代法和反迭代法、子空间迭代法。

求解系统响应问题的方法，有振型叠加法和逐步积分法（显式和隐式）等。振型叠加法将n阶自由度系统的动力方程，经过振型模态矩阵变换，转化为互相不耦合的n个单自由度问题，进行逐个求解后，然后再叠加得到动力响应的结果。

n个自由度的结构，在激励力p(t)的作用下的动力响应可以表示为各阶主振型的线性叠加。

5.5结构动力学问题的有限元法逐步积分法（直接积分法）

对于有复杂激振力或非比例阻尼情况下，将时间离散化，逐步求出每个时间间隔上的状态向量（位移、速度和加速度），最后获得的状态向量为结构系统的动力响应解。后次求解是在前次解已知的条件下进行5.5结构动力学问题的有限元法5.6有限元法的前后置处理一有限元网格自动生成

结构几何模型表示方法

几何模型的生成：外部生成；内部生成几何表示模式：