第06章动态数列分析

第六章动态数列分析第六章动态数列分析知识目标1．了解动态数列的概念、作用、种类及编制原则。2．理解时期数列和时点数列的区别；动态数列的水平指标及速度指标。3．理解动态数列变动规律的长期趋势分析。4．掌握平均发展水平指标、增长量的计算与应用。5．掌握发展速度、增长速度、水平法平均发展速度指标的计算与应用。6．掌握现象长期趋势的测定方法。第一节动态数列概述一、动态数列的概念动态数列是指社会经济现象在不同时间上的一系列指标值，按时间先后顺序加以排列后形成的数列，又称为时间数列。动态数列是计算动态分析指标、考察现象发展变化方向和速度，预测现象发展趋势的基础。第一节动态数列概述一、动态数列的概念动态数列由两个基本要素组成，一是被预测现象所属的时间，可以用年、季、月、日表示，如表6-1中的2005～2009年；二是反映现象变化的指标数值。表6-1我国2005～2009年国内生产总值单位：亿元年份20052006200720082009国内生产总值184937216314265810314045335353第一节动态数列概述二、动态数列的种类平均指标动态数列相对指标动态数列总量指标动态数列第一节动态数列概述二、动态数列的种类(一)总量指标动态数列所谓总量指标动态数列，是指将现象某一总量指标值按时间先后顺序排列所形成的动态数列，也称为绝对数动态数列。按照统计指标所表明的社会经济现象所属的时间不同，总量指标动态数列又分为时期数列和时点数列。第一节动态数列概述二、动态数列的种类(一)总量指标动态数列1．时期数列时期数列是由时期指标构成的数列。在总量指标动态数列中，如果各项指标都反映某种现象在一段时期内发展过程的总量，这样的总量指标动态数列就称为时期数列。第一节动态数列概述二、动态数列的种类(一)总量指标动态数列时期数列的主要特点如下。(1)时期数列中各个指标数值是可以相加的，相加具有一定的经济意义。(2)时期数列中每个指标数值的大小与所属时期的长短有直接的关系。(3)时期数列中的每一个指标数值，通常是通过对现象做经常性调查得到的。第一节动态数列概述二、动态数列的种类(一)总量指标动态数列2．时点数列在总量指标动态数列中，如果各项指标都反映某种现象在某一时点上的数量水平，这样的总量指标动态数列就称为时点数列。例如，表6-2中所列的年末总人口数，就是一个时点数列。第一节动态数列概述二、动态数列的种类(一)总量指标动态数列2．时点数列表6-2我国2005～2009年总人口数单位：万人年份20052006200720082009年末总人口数130756131448132129132802133474第一节动态数列概述二、动态数列的种类(一)总量指标动态数列时点数列有如下主要特点。(1)时点数列中各个指标数值是不能相加的，相加没有实际经济意义。(2)时点数列中每个指标数值的大小与时间间隔长短没有直接关系。(3)时点数列中的每一个指标数值，通常是通过对现象做一次性调查得到的。第一节动态数列概述二、动态数列的种类(二)相对指标动态数列所谓相对指标动态数列，是指将现象某一相对指标值按时间先后顺序编排所形成的动态数列，也称为相对数动态数列。它主要用来反映现象对比关系的发展变化过程。第一节动态数列概述二、动态数列的种类(二)相对指标动态数列例如，表6-3中所列的产量计划完成程度就是一个相对指标动态数列。在相对指标动态数列中，各个指标数值是不能相加的。表6-3某厂2005～2009年产量计划完成程度单位：%年份20052006200720082009产量计划完成程度

98102110112113第一节动态数列概述二、动态数列的种类(三)平均指标动态数列所谓平均指标动态数列，是指将现象某一平均指标值按时间先后顺序编排所形成的动态数列，也称为平均数动态数列。它主要用来反映现象一般水平的发展变化过程。第一节动态数列概述二、动态数列的种类(三)平均指标动态数列例如，表6-4中所列的职工年平均工资就是一个平均数动态数列。在平均指标动态数列中，各个指标数值也是不能相加的。表6-4某市2005～2009年工人平均工资单位：元年份20052006200720082009平均工资1350014700156001890022500第一节动态数列概述三、动态数列的编制原则(二)总体范围大小应该一致(一)时间长短应该可比(四)指标计算方法、计量单位应该统一(三)指标的经济内容应该相同第二节动态数列的水平指标一、发展水平图6-1发展水平分类发展水平是指在动态数列中的每一项具体指标数值。发展水平反映某种社会经济现象在一定时间上所达到的规模或水平，是计算其他动态数列指标的基础。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平平均发展水平是对一个动态数列不同时间的发展水平求平均数，又称为序时平均数或动态平均数。它与静态平均数(一般平均数)既有相同点，又存在明显的区别。其相同点是：二者都是将现象在数量上的差异抽象化，以反映现象总体的一般水平。其区别是：第一，平均的对象不同，序时平均数平均的是总体在不同时间上的数量差异，一般平均数平均的是总体各单位在某一标志值上的数量差异；第二，时间状态不同，序时平均数是动态说明被研究现象本身在一段时间内的平均发展水平，一般平均数是静态说明在同一时间总体各单位某个标志值的平均水平；第三，计算的依据不同，序时平均数的计算依据是时间数列，一般平均数的计算依据是变量数列。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(一)总量指标动态数列计算平均发展水平1．时期数列计算平均发展水平时期数列平均发展水平的计算比较简单，采用的是简单算术平均法。其计算公式为：(6-1)式中，表示现象各期的发展水平；表示平均发展水平；表示时期项数。第二节动态数列的水平指标【例6-1】2009年某超市上半年的商品销售额见表6-7。表6-7某超市2009年上半年的商品销售额单位：万元月份1月2月3月4月5月6月销售额105013501500160016501850要求：计算该超市2009年上半年平均每月商品销售额。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(一)总量指标动态数列计算平均发展水平2．时点数列计算平均发展水平要精确计算时点数列的平均发展水平，就应掌握每一时点的资料，但实际上这是不可能的。在社会经济统计实践中一般是把一天看做一个时点，即以“天”作为最小的时点单位，这样就把时点数列区分为连续时点数列和间断时点数列。如果是每天都有资料登记的时点数列，就称为连续时点数列。如果是间隔一段较长时间(月、季、年)后才有资料登记的时点数列，称为间断时点数列。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(一)总量指标动态数列计算平均发展水平2．时点数列计算平均发展水平(1)由连续时点数列计算平均发展水平。根据连续时点数列的登记间隔不同，又分为以下两种情况。①间隔相等的连续时点数列。这种时点资料是逐日登记的。如已知每天职工的出勤资料，求平均每天出勤人数，可采用简单算术平均法。其计算公式为：(6-2)第二节动态数列的水平指标【例6-2】某单位职工星期一至星期五出勤人数见表6-8。表6-8某单位职工出勤人数单位：人时间星期一星期二星期三星期四星期五人数423418425422417要求：试计算该单位职工本周平均每天的出勤人数。=第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(一)总量指标动态数列计算平均发展水平2．时点数列计算平均发展水平(1)由连续时点数列计算平均发展水平。根据连续时点数列的登记间隔不同，又分为以下两种情况。②间隔不等的连续时点数列。有些现象不用每日登记，只需在发生变动时记录即可。例如，单位的人事变动资料，可采用加权算术平均法。其计算公式：(6-3)式中，表示各时点水平所持续的时间长度，其他符号同前。第二节动态数列的水平指标【例6-3】某企业2009年9月份职工人数见表6-9。表6-9某企业2009年9月份职工人数日期职工人数

(人)时间长度

(天)1～648067～164901017～264951027～304854要求：试计算该企业9月份的平均职工人数。==第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(一)总量指标动态数列计算平均发展水平2．时点数列计算平均发展水平(2)由间断时点数列计算平均发展水平。间断时点数列也分为间隔相等和间隔不相等两种情况。①间隔相等的间断时点数列。(6-4)由于式(6-4)采用的是“两头各一半加中间除以项数减一”的办法，因此俗称为首末折半法。式中n-1为间隔数目，比时点数列的项数少1项。第二节动态数列的水平指标【例6-4】某企业2009年第三季度职工人数见表6-10。表6-10某企业2009年第三季度职工人数单位：人日期7月1日8月1日9月1日10月1日职工人数800820830880要求：试计算该企业第三季度平均每月职工人数。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(一)总量指标动态数列计算平均发展水平2．时点数列计算平均发展水平(2)由间断时点数列计算平均发展水平。间断时点数列也分为间隔相等和间隔不相等两种情况。②间隔不等的间断时点数列。(6-5)式中，表示各时点水平间隔的时间长度，如是时点水平的间隔长度；其他符号同前。第二节动态数列的水平指标【例6-5】某企业2009年钢材库存量见表6-11。表6-11某企业2009年钢材库存量单位：吨日期1月1日4月1日9月1日12月31日钢材库存量22241816要求：试计算该企业2009年平均每月钢材库存量。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(二)相对指标动态数列计算平均发展水平相对指标动态数列是由总量指标动态数列所形成的派生数列，是由两个有联系的总量指标动态数列相应项对比所形成的数列。相对指标分为静态相对指标和动态相对指标，相应的动态数列就有静态相对指标动态数列和动态相对指标动态数列之分。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(二)相对指标动态数列计算平均发展水平1．分子分母都是时期指标2．分子分母都是时点指标3．分子是时期指标，分母是时点指标第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(二)相对指标动态数列计算平均发展水平1．分子分母都是时期指标【例6-6】某企业2009年各季度销售额、利润额及利润率见表6-12。表6-12某企业2009年各季度有关资料季度利润额(万元)销售额(万元)利润率(%)第一节度70.422032第二节度79.224033第三节度87.525035第四节度100.828036合计337.9990第二节动态数列的水平指标要求：试计算该企业2009年各季度的平均利润率。例6-6中的相对指标动态数列(利润率动态数列)是由两个时期数列对比形成的，因此，各季度的平均利润率计算如下：(1)各季度平均利润额。(2)各季度平均销售额。(3)各季度的平均利润率。第二节动态数列的水平指标由于例6-6中的相对指标动态数列是由两个时期数列对比形成的。因此，其公式可以简写为：第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(二)相对指标动态数列计算平均发展水平2．分子分母都是时点指标【例6-7】某企业职工人数及生产人员人数见表6-13。表6-13某企业职工人数和构成时间4月初5月初6月初6月底工人人数(人)(a)780806816844全员人数(人)(b)5100513051805200工人人数占全员人数的比重(%)15.2915.7115.7516.23要求：计算第二季度工人人数占全员人数的平均比重。第二节动态数列的水平指标例6-7中的相对指标动态数列(工人人数占全员人数比重的动态数列)是由两个间隔相等的间断时点数列对比形成的，因此，第二季度工人人数占全员人数的平均比重计算如下：(1)第二季度工人平均人数。=第二节动态数列的水平指标(2)第二季度全员平均人数。(3)第二季度工人人数占全员人数的平均比重。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(二)相对指标动态数列计算平均发展水平3．分子是时期指标，分母是时点指标【例6-8】某企业2009年第四季度职工人数及产值见表6-14。表6-14某企业2009年第四季度工人数及产值月份9月10月11月12月产值(百元)(a)3600390042004500月末人数(人)(b)60646872要求：计算第四季度的每月平均劳动生产率。第二节动态数列的水平指标例6-8中的相对指标动态数列(工人的劳动生产率动态数列)虽然没有具体列出，但它是由一个时期数列和一个间隔相等的间断时点数列对比形成的。因此，第四季度的每月平均劳动生产率计算如下：(1)第四季度平均每月产值。(2)第四季度平均每月人数。(3)第四季度的每月平均劳动生产率。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(三)平均指标动态数列计算平均发展水平1．静态平均指标动态数列计算平均发展水平静态平均指标动态数列，如前所述，各项指标数值也是不能相加的，其指标数值也是由两个总量指标数值对比计算得到的。因此，其平均发展水平的计算与静态相对指标动态数列平均发展水平的计算是完全相同的。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(三)平均指标动态数列计算平均发展水平2．动态平均指标动态数列计算平均发展水平(1)当各平均发展水平的计算时间间隔相等时，可采用简单算术平均法计算平均发展水平。其计算公式为：(6-7)【例6-9】某工厂7月份平均职工人数为520人，8月份平均职工人数为528人，9月份平均职工人数为536人。试计算第三季度月平均职工人数。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(三)平均指标动态数列计算平均发展水平2．动态平均指标动态数列计算平均发展水平(2)当各平均发展水平的计算时间间隔不相等时，可采用加权算术平均法计算平均发展水平。其计算公式为：(6-8)式中，表示指标数值的时间长度，其他符号同前。第二节动态数列的水平指标二、平均发展水平(三)平均指标动态数列计算平均发展水平2．动态平均指标动态数列计算平均发展水平【例6-10】某工厂第三季度平均职工人数为520人，10月份平均职工人数为514人，11、12月份平均职工人数为532人。试计算下半年月平均职工人数。=第二节动态数列的水平指标三、增长量与平均增长量(一)增长量增长量是用来说明社会经济现象在一定时期内所变化的绝对数量的指标，是报告期水平与基期水平之差，反映报告期与基期增长或减少的数量。用公式表示为：增长量=报告期水平-基期水平 (6-9)增长量的计算结果有正负之分，正数表示增长，负数则表示减少，因此，增长量又称为增减量。第二节动态数列的水平指标三、增长量与平均增长量(二)平均增长量逐期增长量：累计增长量：逐期增长量和累计增长量之间存在一定的数量关系：(1)逐期增长量之和等于相应的累计增长量，即(2)两个相邻的累计增长量之差等于相应的逐期增长量，即第二节动态数列的水平指标三、增长量与平均增长量(二)平均增长量【例6-11】计算我国2005～2009年国内生产总值逐期增长量和累计增长量，结果见表6-15。表6-15国内生产总值逐期增长量和累计增长量计算表单位：亿元年份20052006200720082009国内生产总值184937216314265810314045335353逐期增长量31377494964823521308累计增长量3137780873129108150416第二节动态数列的水平指标在统计实践中，为了消除季节变动的影响，常采用年距增长量指标，它是报告期水平与上年同期(同季或同月)水平之差，表明报告期水平较上年同期水平增减的绝对量。其计算公式为：年距增长量=报告期水平-上年同期水平【例6-12】某企业某产品2009年第一季度产量为650万吨，2008年第一季度产量为600万吨，计算年距增长量。年距增长量=650−600=50(万吨)这表明2009年第一季度产品产量比2008年同期增长了50万吨。第二节动态数列的水平指标三、增长量与平均增长量(二)平均增长量平均增长量是用来反映社会经济现象在一定时期内平均每期变化增加(或减少)的数量，是动态数列中逐期增长量的序时平均数。其计算公式为：

(6-11)第二节动态数列的水平指标【例6-13】根据表6-15中的资料计算平均增长量。或思考：累计增长量、年距增长量和平均增长量分别在什么条件下使用？各有什么意义？第三节动态数列的速度指标一、发展速度二、增长速度三、增长1%的绝对值四、平均发展速度和平均增长速度第三节动态数列的速度指标一、发展速度发展速度是以相对数形式表示的两个不同时期发展水平的比值，表明现象发展变化的相对程度，即报告期水平已发展到基期水平的百分之几或若干倍。其计算公式为：(6-12)发展速度通常用百分数表示，有时也用倍数表示。若发展速度大于百分之百(或大于1)，表示向上发展；若发展速度小于百分之百(或小于1)，则表示向下发展。第三节动态数列的速度指标一、发展速度发展速度由于采用的基期不同，可分为环比发展速度和定基发展速度。定基发展速度是报告期水平与某一固定基期水平(通常为最初水平)之比，表明现象在某一较长时期的发展速度。环比发展速度是报告期水平与其前一期水平之比，表明现象逐期的发展速度。第三节动态数列的速度指标一、发展速度两个指标可用公式表示为：环比发展速度：定基发展速度：第三节动态数列的速度指标一、发展速度在同一动态数列资料下计算的环比发展速度和定基发展速度之间存在以下关系：(1)环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度，即(2)两个相邻定基发展速度之比等于相应的环比发展速度，即第三节动态数列的速度指标一、发展速度在统计实践中，为了消除季节变动的影响，常采用年距发展速度指标，它是报告期水平与上年同期水平之比。其计算公式为：(6-13)第三节动态数列的速度指标二、增长速度增长速度是反映现象数量增加方向和程度的动态相对指标，用增长量与基期水平之比，表明报告期水平比基期水平增长(或降低)了百分之几或若干倍。其计算公式为：(6-14)增长速度指标有正负之分，当报告期增长量为正值时，则增长速度为正数，表明为递增速度；当报告期增长量为负值时，则增长速度为负数，表明为递减速度。第三节动态数列的速度指标二、增长速度定基增长速度是累计增长量与某一固定基期水平(通常为最初水平)之比，表明现象在某一较长时期的增长速度。这两个指标可用公式表示为：(6-15)(6-16)第三节动态数列的速度指标表6-162005～2009年国内生产总值速度指标计算表年份20052006200720082009国内生产总值(亿元)184937216314265810314045335353增长1%的绝对值(亿元)1849.372163.142658.103140.45发展速度(%)环比发展速度116.97122.88118.15106.79定基发展速度100.00116.97143.73169.81181.33增长速度(%)环比增长速度16.9722.8818.156.79定基增长速度16.9743.7369.8181.33图6-2由环比增长速度求定基增长速度第三节动态数列的速度指标二、增长速度在统计实践中，为了消除季节变动的影响，也经常使用年距增长速度指标，它是报告期年距增长量与上年同期水平之比。其计算公式为：(6-17)第三节动态数列的速度指标三、增长1%的绝对值速度指标数值的大小与基期水平的高低有密切关系，通常，基数越小，增长速度越高；基数越大，增长速度越低。(6-18)具体计算见表6-16。增长1%的绝对值具有双刃剑的作用，在速度上每增长1%，绝对量就增加；每降低1%，绝对量就减少。第三节动态数列的速度指标三、增长1%的绝对值【例6-14】假定有甲、乙两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度资料见表6-17。表6-17甲、乙两个企业的有关资料年份甲企业乙企业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)2008500602009600208440第三节动态数列的速度指标分析：如果不看利润额的绝对值，仅就速度对甲、乙两个企业进行分析评价，可以看出乙企业的利润增长速度比甲企业的高出了1倍，若就此得出乙企业的生产经营业绩比甲企业好得多的结论是不切实际的。因为速度是一个相对值，它与对比的基期值的大小有很大关系。而这两个企业的生产起点不同，也就是它们用作对比的基期值不同，所以必须通过计算增长1%的绝对值来进行对比分析。(万元)(万元)计算结果表明，甲企业每增长1%增加的利润额为5万元，而乙企业的则为0.6万元，甲企业远高于乙企业。思考：通常，“高水平难以高速度，而低水平却可以高速度”，你能理解这是为什么吗？第三节动态数列的速度指标四、平均发展速度和平均增长速度平均增长速度=平均发展速度−1(6-19)图6-3增长速度与发展速度关系图第三节动态数列的速度指标四、平均发展速度和平均增长速度几何法，又称为水平法，其基本思想是，现象从最初水平出发，如果各期都以平均发展速度发展，经过n次，发展到最末一期，则最末一期的理论水平应与最末一期的实际水平相等。设为平均发展速度，为初始发展水平，则第一期的理论水平：第二期的理论水平：第三期的理论水平：

第n期的理论水平：第三节动态数列的速度指标四、平均发展速度和平均增长速度(6-20)(6-21)(6-22)第三节动态数列的速度指标四、平均发展速度和平均增长速度【例6-15】某地区2004～2009年粮食产量及其发展速度见表6-18。表6-18某地区2004～2009年粮食产量及其发展速度年份200420052006200720082009粮食产量(万吨)200220231240252260环比发展速度(%)110.00105.00103.90105.00103.17定基发展速度(%)100.00110.00115.50120.00126.00130.00第三节动态数列的速度指标四、平均发展速度和平均增长速度【例6-15】某地区2004～2009年粮食产量及其发展速度见表6-18。要求：试计算该地区以2004年为基期，2005～2009年粮食产量的平均发展速度。或第四节动态数列变动规律的趋势分析一、动态数列变动趋势分析(一)长期趋势(二)季节变动(三)循环变动(四)不规则变动第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(三)最小平方法(二)移动平均法(一)时距扩大法第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(一)时距扩大法时距扩大法也称为间隔扩大法，是测定长期趋势最原始、最简单的方法。时距扩大法是指将原动态数列中若干时期资料加以合并，得出扩大间隔的较大时距单位的新动态数列，以消除由于时距较短而受偶然因素影响所引起的不规则变动，反映现象发展变化长期趋势的分析方法。第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(一)时距扩大法【例6-16】某商场各月商品销售额见表6-19。表6-19某商场各月商品销售额单位：万元月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月销售额404352434452534751555456第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(一)时距扩大法从表6-19可以看出，数列变化并不均匀，即各月之间的商品销售额起伏不定，用该动态数列并不能清楚地反映出该商场商品销售额的变动趋势。现将月商品销售额整理为季商品销售额，见表6-20。表6-20某商场各季度商品销售额单位：万元季度第一季度第二季度第三季度第四季度销售额135139151165第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(一)时距扩大法在使用时距扩大法时应注意三点第一，扩大的时距单位的大小，应以时距扩大后的数列能正确反映长期趋势为准。若现象有明显变动周期的，扩大后的时距一般与现象的变动周期相同；若现象无明显变动周期的，可以逐步扩大时距，直至显现出现象变动的长期趋势。第二，为了保持动态数列资料的可比性，同一数列前后的时距单位应当一致。第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(一)时距扩大法在使用时距扩大法时应注意三点第三，动态数列如果是时期数列，扩大时距后可以用总量指标表示，也可以用平均指标表示；动态数列如果是时点数列，扩大时距后只能用平均指标表示。第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(二)移动平均法移动平均法是根据动态数列资料，按一定项数递推移动，分别计算一系列指标数值的序时平均数，形成一个新的动态数列，以反映现象长期趋势的方法。采用移动平均法修匀动态数列，可以削弱或消除短期的偶然因素的影响，从而呈现出明显的长期趋势。第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(二)移动平均法【例6-17】表6-21包括奇数项和偶数项两种移动平均。表6-21某企业2009年各月总产值移动平均计算表单位：万元月份总产值三项移动平均四项移动平均四项移正平均1月71.02月60.068.469.83月74.269.471.372.84月74.077.076.279.55月82.881.280.982.36月86.885.084.286.07月85.487.087.689.2第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(二)移动平均法【例6-17】表6-21包括奇数项和偶数项两种移动平均。表6-21某企业2009年各月总产值移动平均计算表单位：万元月份总产值三项移动平均四项移动平均四项移正平均9月95.892.191.292.010月91.793.093.394.511月91.594.012月98.8第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(三)最小平方法最小平方法又称为最小二乘法，是长期趋势分析中较常用的一种统计方法。根据最小平方法的基本原理，若要找到一条最佳趋势线，必须使原动态数列的实际观测值与趋势线方程式中的趋势值离差平方之和为最小，即上述等式表明，用最小平方法拟合的趋势线，比其他任何方法拟合的趋势线都理想。第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(三)最小平方法设直线趋势方程为：式中，为趋势值；为时间序号；为截距，即

时的初始值；为斜率，表示时间每变动一个单位时，趋势值的平均变动数量。第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(三)最小平方法在动态数列不同时间的观察值的基础上，根据最小平方法的基本原理，若，便可推导出关于、的二元一次方程组为：第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(三)最小平方法解上面这个方程组，可推导出直线趋势方程中两个待定参数、的直接计算公式为：(6-23)(6-24)第四节动态数列变动规律的趋势分析二、长期趋势分析(三)最小平方法【例6-18】某地区2000～2009年粮食产量见表6-22。要求：用最小平方法建立直线趋势方程，测定该地区粮食产量的长期趋势值，并预测2010年的粮食产量。表6-22

某地区2000～2009年粮食产量单位：吨年份粮食产量年份粮食产量2000230200525720012362006262200224120072762003246200828120042522009286第四节动态数列变动规律的趋势分析现根据表6-22中的资料列出最小平方法的计算数据，见表6-23。表6-23最小平方法计算表年份时间变量

粮食产量(吨)200012302301228.13200122364724234.48200232417239240.832003424698416247.1820045252126025253.5320056257154236259.8820067262183449266.2320078276220864272.5820089281252981278.932009102862860100285.28合计552567146423852567.00第四节动态数列变动规律的趋势分析依据表6-23中数据可得：那么，直线趋势方程为：第四节动态数列变动规律的趋势分析该地区2000—2009年粮食产量的趋势值见表6-23最后一列。若要预测2010年的粮食产量，取，则在以上计算中，时间变量是按从小到大排列的，若能使，则可简化求的计算。其计算公式为：(6-25)(6-26)第四节动态数列变动规律的趋势分析表6-24简化最小平方法计算表年份时间变量

粮食产量(吨)2000-9230-207081228.172001-7236-165249234.512002-5241-120525240.852003-3246-7389247.192004-1252-2521253.53200512572571259.87200632627869266.2120075276138025272.5520087281196749278.8920099286257481285.23合计0256710473302567.00第四节动态数列变动规律的趋势分析三、季节变动分析(一)季节变动分析的目的季节变动分析的主要目的在于把握季节变动的规律，从而合理地组织生产、销售等各项经济活动；同时可以将测定出的季节变动从动态数列中剔除，以便更好地研究长期趋势和循环变动；还可以利用季节变动的规律，配合长期趋势，更科学地进行经济预测。第四节动态数列变动规律的趋势分析三、季节变动分析(二)季节变动分析的方法测定季节变动的主要方法是按月(季)平均法。按月(季)平均法是测定季节变动最简单的方法。该方法的基本思想是，先计算出各年同月(季)的平均数，以消除不规则变动(随机影响)，作为该月(季)的代表值；然后计算出总月(季)的平均数，作为全年的代表值；再将同月(季)平均数与总月(季)平均数进行对比，即为季节指数。季节指数是进行季节变动分析的重要指标，可以用来说明季节变动的程度。第四节动态数列变动规律的趋势分析三、季节变动分析(二)季节变动分析的方法按月(季)平均法的计算步骤如下：第二步，计算出全部数据的总月(季)平均数；第一步，根据各年的月份(季度)数据计算出同月(季)的平均数；第三步，计算出季节指数。其计算公式为：(6-27)第四节动态数列变动规律的趋势分析【例6-19】某商业企业某商品2007～2009年各月的销售量见表6-25。按月(季)平均法是直接根据原动态数列通过简单算数平均来计算季节指数的一种方法。其具体的计算步骤如下：第一步，列表，将各年同月(季)的数值列在同一行(或同一列)内；第二步，根据各年的月(季)数值计算出历年同月(季)的平均数，即表6-25中的第(5)栏；第三步，根据每年12个月(4个季)的数值计算出每年的月(季)平均数，即表6-25中的第14行中的数值；第四步，计算出全部数值总的月(季)平均数，表6-25中三年36个月的月平均数为764.28；第四节动态数列变动规律的趋势分析【例6-19】某商业企业某商品2007～2009年各月的销售量见表6-25。第五步，根据公式“”，计算出各月(季)平均数与总月(季)平均数的百分比。如1月份的季节指数为，2月份的季节指数为，依次类推，见表6-25中的第(6)栏。第四节动态数列变动规律的趋势分析表6-25季节指数计算表单位：百件顺序年份月份200720082009合计同月平均数季节指数(%)(1)(2)(3)(4)(5)(6)11月11614518044114719.2322月15421024560920326.5633月220312325857285.6737.3844月3925205351447482.3363.1155月6426847102036678.6788.8066月16421872192354371812.33237.1377月28103120335092803093.33404.7488月12041382157641621387.33181.5299月384482625149149765.031010月183248437868289.3337.861111月12513025851317122.371212月95112166373124.3316.2713合计7967921710330275149171.32120014月平均数663.92768.08860.832292.83764.28100第四节动态数列变动规律的趋势分析【例6-20】某地区2007～2009年各季度苹果销售量见表6-26。要求：根据表中资料计算季节指数，假定2010年苹果销售量经预测得知为4000吨，计算各季度的预测值。表6-26某地区2007～2009年各季度苹果销售量单位：吨季度年份第一季度第二季度第三季度第四季度200762080828198020086558683520002009660798081980第四节动态数列变动规律的趋势分析解：(1)平均每季销售量(吨)(2)求出季节指数，具体见表6-27。(3)第一季度销售量为：(吨)

第二季度销售量为：(吨)

第三季度销售量为：(吨)

第四季度销售量为：(吨)第四节动态数列变动规律的趋势分析表6-27季节指数计算表单位：吨季度年份第一季度第二季度第三季度第四季度合计季平均数