控制工程基础2章-4

§2-7传递函数的方框图及简化

建立系统动态结构图(方框图)的目的可直观形象了解系统受控对象和控制装置之间及内部各变量间的动态联系，以便从总体上及原则上把握系统的基本特点。这无论对系统的动态分析还是设计都是至关重要的。另一个更直接的用意是：可用局部环节的方框图联成整个系统的方框图，再简化，来寻找系统总的传递函数，避开繁琐的方程组消元计算，当然只有在方法上更为简洁才有实际意义。可以提示和评价每个环节对系统的影响。由动态结构图(方框图)求总传递函数的思路是：在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构进行逐歩归并各简化，最终变换为输入量对输出量的一个方块。一、方框图的概念方框图也是描述系统的一种数学模型。构成方框图的基本符号有4种：信号线－－可箭头表示信号传递的方向，在线上写出信号的时间函数或其拉式变换。x(t)或Xi(s)函数方框－－表示该环节接受信号，并按方框中传递函数所表示的关系把输入信号变换为输出信号。G(s)综合(相加)点－－表示两个信号的代数相加。x1+-

x3

-x2

x4x4

=x1

–

x2

–

x3分支点－－表示一个信号分两路引出。引出信号并不是取去能量，所以信号并不减弱。Gx4x3x2x1x5x2

=x3

=

x4

=

x5

=

Gx1二、方框图的基本连接方式1、串联Xo(s)X(s)Xi(s)G1(s)G2(s)若系统由n个环节串联而成，则若系统由n个环节并联而成，则引入中间变量XXi(s)Xo(s)简化为：2、并联Xo(s)Xi(s)X2(s)X1(s)G1(s)G2(s)++Xi(s)Xo(s)简化为：二、方框图的基本连接方式3、反馈Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)简化为：注意区分反馈与并联：

HX2+X1

GX2+X1反馈连接：并联环节：三、系统方框图的建立

建立系统动态结构图(方框图)的步骤：确定系统输入信号与输出信号；根据物理定律列写关于中间变量的原始微分方程组。其中注意明确信号的因果关系；进行拉式变换，得到[s]空间的代数方程组。通常输出量(结果)写在方程左侧，输入量(原因)写在方程右侧；按信号在系统中输入变量与中间变量、中间变量与输出变量的因果关系，依次将各元件方框图连接起来，且同一变量的信号通路连接在一起，从左到右画出。例1：如图所示电路。uiCRuoi解：由基尔荷夫定律在零初始条件下，对两式进行拉式变换，得1/RI(s)Ui(s)+-Uo(s)Uo(s)1/CsI(s)Uo(s)1/R1/CsI(s)Ui(s)+-例2：求作图示系统方框图U2U1UR1R2II2I11、分解各中间环节，列出方程：2、绘出各环节方框图。-+UU1I1A):I2I+-I1B):IUC):+-UI2U2D):U2I2E):例2：-+UU1I1A):I2I+-I1B):IUC):+-UI2U2D):U2I2E):3、将各环节连接起来，整理得到如图所示方框图：I2I+-I1-+UU1U2+-UI2U2四、系统方框图的化简通常化简方法有：方框图等效化简和梅逊增益法化简(一)、方框图等效化简法则：将相加点或分支点的位置，在等效原则下作适当移动，消除方框的交叉连接，然后一步步运算，求出系统的总传递函数。1）分支点前移Gx3x2x1Gx3x2x1GGx3x2x1Gx3x2x11/G1、分支点2）分支点后移移动前、后：x2=x3=Gx1移动前、后：

x3=x1

x2=Gx1(一)、方框图等效化简2、相加点1）相加点前移+X2GX1X3+GX1X3X22）相加点后移-+X2X1X3GX2X1X3

G

G+-3）多个接近的相加点，中间无方框或分支点时，相加点可合并。反之亦然。-X2X4X1

-X3++X1+-X3-X2

X4X3=(X1

-

X2

)GX3=X1G

-

X2G移动前：X3=X1

G

±X2移动后：X3=(X1±X2/G)G

=

X1G±X2

(一)、方框图等效化简3、相加点与分支点+-X1X3X2X4G+-X1X3X2X4G+-X2X3=(X1-

X2)

G

X4

=

X1-

X2

X3=(X1-

X2)

G

X4

=

X1-

X2

方框图等效变换法则序号原方框图等效方框图1、串联G1G2XYG1G2XY2、并联+G1G2XY+G1+

G2XY3、反馈+GHXYXY4、分支点交换XXXXXX5、分支点后移YXGXYXG1/GX6、分支点前移YYGXYYGGX方框图等效变换法则序号原方框图等效方框图7、相加点分开+XY-+CB+X-BY+C+8、相加点交换+X-BY+C++X-BY+C+9、相加点后移+GXYB+GXYGB10、相加点前移+GXY1/GB+GXYB方框图等效变换法则11、分支点移到相加点之前，必须在移动的分支路上补加上信号B+XYBY++XYBY++B+12、分支点移到相加点之后，必须在移动的分支路上补加上信号－B+XXBY＋+XXBY＋－B+13、相加点在后时，可按图将并联方框图化为单位并联方框图+G1XYG2X(G1+G2)++G1XY1/G2X(G1+G2)+G214、相加点在前时，可按图将反馈方框图化为单位反馈方框图+G1XYG2－+G1XY1/G2－G2例1：I2I+-I1-+UU1U2+-UI2U2简化如图所示系统方框图。1）分支点后移+--+U1U2+-sC2例1：2）串联、反馈环节合并+--+U1U2sC2G1AB3）相加点前移+--+U1U2sC2

G1R1AB例1：+--+U1U2sC2

G1R1AB4）相加点A、B可合并，再分解，即A、B交换位置+--+U1U2sC2

G1

R1AB反馈环节传递函数：例1：5）反馈环节、串联环节合并-+U1U2R1C2s

G1BG26）反馈环节合并整个系统的传递函数：U1U2

GB例2：简化如图所示系统方框图。+-G1-+Xi+-G2XoG3G4H3H1H2IIIIII解：1）将Xo处分支点A前移到B点AB+-G1-+Xi+-G2XoG3G4H3H1H2G4II例2：2）将回路II中的串联、反馈环节合并IIII+-G1-+XiG2XoG4H3H13）将B点处分支点前移到C点BCIIII+-G1-+XiG2XoG4H3H1例2：4）将回路III中的串联、反馈环节合并IG1-+XiXoH15）将回路I中的串联、反馈环节合并XiXo6）将串联环节合并XiXo总结：方框图化简的途径不是唯一的，但总有一种方法是较为简单的。对初学者而言，分支点的移动较相加点的移动更容易些。

无论什么方法，为保证化简结果正确，必须符合以下两条原则：前向通道中传递函数的乘积保持不变；回路中传递函数的乘积保持不变。(二)、梅逊增益法化简含有多个局部反馈回路的闭环传递函数可由下列公式直接求得：在相加点处，对反馈信号为相加，时取负号；对反馈信号为相减，时取正号。Notes:要使用梅逊公式，必须具备以下两个条件：（1）整个方框图只有一个前向通道；（2）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。例1:简化如图所示系统方框图。+-G1-+XiG2XoG3H2H1(二)、梅逊增益法化简例1:简化如图所示系统方框图。+-G1-+XiG2XoG3H2H1+-G1-+XiG2XoG3H2H1G3G1-+XiXoG3H1§2-8物理系统传递函数推导的典型实例Z1Z2Z3Z4机床工作台SMutMifuaxo(t)IIIE0uiuou1=

ui-

uo手柄θiθo解：该系统的输入量为θi（即电位器I的角位移θ1

）；该系统的输出量为工作台实际位移xo(t)。描述系统各部分工作的微分方程为：1、电位器I和II的方程a－－电位器满量程所对应园弧度与一个园周角度之比；E0－－电位器两固定端所加电压。↗ui

=K1

θi(2.7.1)↘uo

=K1

θo(2.7.2)2、放大器的方程uiuou1=

ui-

uoutua3、直流电动机的方程通常电机在磁化曲线的线性范围内工作，因此气隙磁通Φ正比于励磁电流，即

Φ=Kf

if(2.7.6)Kf－为常数。if=常数，故磁通为常数。Tm=Km

Φ

ia(2.7.7)Tm－－电动机产生转矩；Km－－常数；ia－－电枢电流；将式(6)代入(7)得Tm=Km

Kf

ifia令CT=Km

Kf

if为电动机转矩常数，则Tm=CTia(2.7.8)ub－－电动机反电动势；Kb－－反电动势常数；ω1－－电动机和齿轮Z1的角速度MIf励磁电流uaRaLaω1↗u1

=K1(θo

-

θi

)

(2.7.3)|Δu=u1

-

ut(2.7.4)↘ua

=Kp

Δu

(2.7.5)Kp

－－放大器放大倍数4、测速发电机的方程ut=Kt

ω1

(2.7.11)Kt－－测速发电机传递函数和分压比合并的系数5、齿轮传动链的方程Z1J1B1Z2J2B2III工作台MIJ3B3IIxo(t)假设齿轮传动轴无弹性变形，齿轮无间隙，即忽略扭转弹性刚度的影响。工作台直线运动部件M折算到轴III上的转动惯量为L－－丝杆螺距，定义为丝杆每转一周工作台移动的直线距离。工作台和轴III的总转动惯量为SMutω1工作台位移和轴III角度θo的关系为5、齿轮传动链的方程工作台导轨平移阻尼系数折算到轴III上为工作台和轴III总粘性阻尼系数为设齿轮1对齿轮2的驱动转矩为T12，齿轮2对齿轮1的阻力转矩为T21

；齿轮3对齿轮4的驱动转矩为T34，齿轮4对齿轮3的阻力转矩为T43

。则轴转矩平衡方程得，（式中TL－－负载阻力矩）5、齿轮传动链的方程由齿轮传动关系知因齿轮1做功和齿轮2做功相等，则同理由式(2.7.19)和(2.7.23)得由式(2.7.20)和(2.7.21)得5、齿轮传动链的方程由式(2.7.24)和(2.7.25)得由式(2.7.20)和(2.7.18)得由式(2.7.27)和(2.7.22)得由式(2.7.26)和(2.7.28)得5、齿轮传动链的方程以上列写出了整个控制系统的原始微分方程模型。由式(2.7.29)和(2.7.17)得由式(2