数值分析复习题

《数值分析》复习题

Ex1.证明方程

1–x–sinx=0

在区间[0，1]上有一根。使用二分法求误差不大于0.5×10-4的根需二分多少次？Ex2.设x*

是非线性方程f(x)=0的单根，证明在牛顿迭代法中，有Ex3.设a为正实数，试建立求(1/a)的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式产生的数列{xn}的收敛性.Ex4.分析下列方程，确定方程的全部隔根区间（1）xsinx=1；（2）sinx–e-x=0；（3）x=tanx；（4）x2–e-x

=0。

Ex5.对于二元方程G(x，y)=0，已知（x0，y0）满足方程。如果，则根据隐函数存在定理，在点x0附近有函数y=y(x)，对于接近于x0的自变量x，试构造牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。

Ex6.证明矩阵A的谱半径与A的范数有如下关系ρ(A)≤||A||其中，||A||为A的任何一种算子范数。Ex7.对于复变量

z=x+iy

的复值函数f(z)，应用牛顿迭代公式求方程f(z)=0的复根时，有迭代公式

为了避开复数运算,令

zn=xn+iyn

,f(zn)=An+iBn，f’(zn)=Cn+iDn

试证明用于计算的公式

Ex8.对下列矩阵做LU分解Ex9

求上三角(下三角)矩阵的条件数Ex10.对任意x，y∈Rn，利用向量范数的三角形不等式证明：

Ex11.设X∈R,X=(x1，x2，……，xn)T，求证Ex12.设X是n维向量,A是n×n阶矩阵.求证:Ex14.有方程组Ax=b,其中A为对称正定阵,且有迭代公式讨论使迭代序列收敛的

的取值范围.Ex13.对n阶矩阵A,设A的顺序主子式都不为零,试证明消元过程中出现的Frobenius矩阵有如下性质

Ex15.设有方程组Ax=b，其系数矩阵主对角元

aii

≠0(i=1，2，…，n)证明解方程组的Jacobi迭代法收敛的充要条件是

的根满足||<1。

Ex16.设A是对称矩阵，将A分裂为A=D–L–U。Gauss-Seidel迭代格式的向前和向后两种形式分别为x(k+1)=x(k)+(D–L)-1(b–Ax(k))x(k+1)=x(k)+(D–U)-1(b–Ax(k))如果将向前和向后迭代格式交替进行，则有x(k+2)=x(k)+M-1(b–Ax(k))试证明：M-1=(D–U)-1D(D–L)-1。

Ex17

设h=1/(n+1)，分析n阶矩阵的Jacobi迭代矩阵特征值Ex18.求经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三个样点的插值多项式Ex19.已知函数y=f(x)的数据如下表x–1

01y-101

y’

0

确定三次插值多项式P3(x)及其插值误差R(x)Ex20.求证:两点Hermite插值的误差Ex21．已知函数f(x)在三个相异结点x0，x1，x2，处的函数值y0，y1，y2，且函数在点x1处的导数值为m1，推导三次插值多项式P(x)及其插值余项R(x)的表达式Ex22.已知实验数据如下：

x

1234y

10305080求二次多项式拟合函数P(x)=a+bx2Ex23

利用数据表

t–2

–1012yyk-2yk-1ykyk+1yk+2求线性拟合函数P(t)=a0+a1t的常数项系数a0。

Ex24.推导左矩形求积公式

Ex25.求复合中矩形公式的截断误差Ex26.取h=(b–a)/3，令x0=a，xj=a+jh

（j=0，1，2，3）。利用两点插值公式求下面开型数值求积公式的系数A1、A2

Ex27.给定积分当要求误差小于10-3时用复合梯形公式计算时,需要计算多少次函数值？Ex28.验证，复合梯形公式与复合Simpson公式之间有如下关系Ex29.试推导数值微分公式

的截断误差。

Ex31.证明改进的欧拉公式能精确地解微分方程y’=－2ax试从欧拉公式的阶与精确解的解析解来说明Ex30.设函数f(x)在区间[a，b]上具有五阶连续导函数。取h=(b–a)/n，令x0=a，xj=a+jh。求证，下面数值二阶导数的差分格式具有4阶精度Ex32.Adamas公式求一阶常微分方程，两步显格式和隐格式yn+2=yn+1+h[3f(xn+1，yn+1)–f(xn，yn)]/2；yn+2=yn+1+h[5f(xn+2,yn+2)+8f(xn+1,yn+1)–f(xn,yn)]/12Ex33.初值问题有解y(x)=0.5ax2+bx。若取

xn=nh，yn为欧拉方法得到的数值解，试证明y(xn)–yn=0.5ahxnEx34

将积分上限函数转化为常微分方程初值问题。并确定一种可求解的二阶方法设f(x)∈C2[a，b]，则带余项梯形公式可以表示为

其中第一章思考题1.在科学计算中，一般误差的来源有几种？列出部分数值分析课中主要讨论误差。

2.有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述3.什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例子说明第二章思考题1.二分法收敛定理对于迭代数列的误差是如何估计的？2.牛顿迭代法和割线法各有什么特点？3.描述将牛顿迭代法推广到二元非线性方程组求解问题的算法，以手机定位问题为例子，写出数学描述和求解方法。第三章思考题第四章思考题高斯消元法消元过程的目标是什么？消元过程需用多少次乘除法？有何数学理论支持解三对角方程组的消元过程有何特点？矩阵的范数和向量的范数有何联系，条件数是如何定义的解线性方程组的迭代法有何特点？它与解方程组的直接法有何不同？解线性方程组的迭代法收敛定理对迭代产生的向量序列的误差是如何估计的？迭代法求解线性方程组的本质是什么？

第五章思考题第六章思考题代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？Runge反例主要说明一个什么样的问题？

多项式拟合与代数插值问题有何差异？拟合函数有何特点？曲线拟合的最小二乘法有何