单相交流电路

《电工学》辽宁省精品课第2章正弦交流电路2.1

正弦交流电的基本性质2.2

正弦量的矢量表示法和复数表示法

2.3

单一参数的交流电路

2.4RLC串联交流电路

2.5

阻抗的串联与并联

2.6功率因数的提高

2.7

复杂交流电路的分析与计算

2.8交流电路中的谐振引言直流电路：电流、电压、电动势的大小和方向都不随时间变化。交流电路：电流、电压、电动势的大小和方向都随时间作周期性变化。I(U、E）0直流电i(u、e）0正弦波i(u、e）0方波正弦交流电的特点:1.使用广泛：电厂供电、生活用电、工业用电。2.理论上，正弦函数的四则运算、微分、积分后仍是正弦函数3.正弦函数是基础，其他非正弦函数可通过傅立叶变换分解成不同频率的正弦量。

：

电流幅值（最大值）：

角频率（弧度/秒）：

初相角三要素:2.1正弦交流电的基本特征数学表达式：波形图：i1.周期

T：变化一周所需的时间

单位：秒（S）一、周期、频率、角频率3.角频率

ω：每秒变化的弧度

单位：弧度/秒(rad/s)2.频率

f：每秒变化的次数

单位：赫兹(Hz)iT0

在工程应用中常用有效值表示交流电的大小。常用交流电压、电流的读数，就是被测物理量的有效值。二、瞬时值、最大值、有效值1.瞬时值：正弦量在任一瞬间的值。用小写字母表示，如u,i,e。3.有效值：2.最大值(幅值)：瞬时值中最大的数值。用大写字母并带下标m表示，如：Um、Im、Em。有效值的规定IR+_E

交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与一直流电流I通过同一电阻在同一时间T内产生的热量相等，则称I的数值为i的有效值。iR+_e当同理问题与讨论

电器~220V最高耐压

=300V

若购得一台耐压为

300V的电器，是否可用于

220V的线路上?

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V电源电压初相位：i相位（相位角）：三、相位、初相位和相位差t=0

时的相位，即相位差:t>0=0<0

两个同频率正弦量间的相位差(初相差)

两种正弦信号的相位关系同相位超前于相位超前相位差为0与同相位

滞后于相位落后可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。如：结论:

因角频率（）不变，所以以下讨论同频率正弦波时，可不考虑，主要研究幅值与初相位的变化。幅值、相位变化频率不变例1:幅值：频率：初相位：已知：A求幅值、频率、初相位。如果相位差为+180或-180,称为两波形反相例2:已知求相位差。解:三角函数式这两种方法不便于运算，下面介绍矢量表示法和相量表示法，重点介绍相量表示法。波形图i2.2正弦交流量的矢量表示法和复数表示法

概念

：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。

一、正弦量的矢量表示法矢量长度

=

矢量与横轴夹角

=

初相位ω矢量以角速度

按逆时针方向旋转ωxyi有效值最大值矢量的书写方式3.矢量符号U、I

包含幅值与相位信息。mUU或xy01.若其幅值用最大值表示，则用符号：2.在实际应用中，幅值更多采用有效值，则用符号：二、复数表示法1、复习复数a.复数和它的表示j0+1Aabθb.复数的四则运算已知：加减：乘除：称j为旋转90°算子。2、复数的表示法j0+1φ复数的模：幅值有效值辐角：初相位复数表达式（相量）：相量图：j0+1φ设a、b为正实数在第一象限jjeUjbaU=+=在第四象限jjeUjbaU=-=在第二象限jjeUjbaU=+-=在第三象限jjeUjbaU=--=在一、二象限，一般取值：180°0°在三、四象限，一般取值：0°-180°计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：43jU--=43jU+-=43jU-=43jU+=例:相位哪一个超前？哪一个落后？例1:已知瞬时值，求相量表示。求：

i

、u

的相量表达式及相量图。解：IUIU超前例2：已知相量，求瞬时值。解：

已知两个频率都为

1000Hz的正弦电流，其相量式为：A10A601003021oojeII=-Ð=同频率正弦量的相量画在一起，构成相量图。例3：同频率正弦波相加--平行四边形法则U2U1U()2221

sin2

jw+==tUu()11

sin2jw+tUu()

sin2jw+tU21UUU+=注意：

只有正弦量才能用相量表示，

非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在

一张相量图上。波形图瞬时值相量图复数式（相量）小结：正弦量的四种表示法TujjÐÞ=+=UeUjbaUj即三角函数式表示U符号说明瞬时值

---小写u、i、e有效值

---大写U、I、E复数、相量

---大写

+“.”最大值

---大写+下标正误判断tu=

sin100w？瞬时值复数U=瞬时值表达式是交流量的基本表达形式，而复数形式是借助复数性质表示正弦函数的一种工具。解：用瞬时值表达式来求解例用相量式求解：所以：'20181297.407.122)3052()7.707.70(°=+=-++=jejjj所以：所以：

练习：1.写出瞬时值表达式：2.指出下列各式的错误：一.电阻电路2.3单一参数的正弦交流电路1.电流、电压的关系uiR+_结论：u、i同频率u、i同相位用相量表示：UIuiR+_用相量图表示：ωtui波形图表示：ωtuipωt2.电阻电路中的功率(1)瞬时功率p：(2)平均功率（有功功率）P：单位：瓦、千瓦(W、kW)cos2==tLIdtdiLuww则)90sin(2o+=tUw)90sin(2o+=tIwXL二.电感电路1.电流、电压的关系

令：U=IXL，其中：

XL=L称感抗,

iuL+_单位：欧姆（Ω）)90sin(2o+=tIωLw波形图表示：iuL+_结论：u

超前

i

90

°iu用相量表示：用相量图表示：UIu、i同频率感抗（XL=ωL

）是频率的函数，

表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦量有效。ω=0时XL=0关于感抗的讨论u+_LR直流U+_R对直流电，电感相当于短路。?（1）瞬时功率

p

：2.电感电路中的功率iuL+_uiP<0P>0P<0P>0可逆的能量转换过程储存能量释放能量

（2）平均功率

P（有功功率）结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）瞬时功率无功功率等于瞬时功率达到的最大值。(3)无功功率Q单位：乏(var)

为了衡量电感与电源之间能量交换的规模大小，把电感与电源之间能量交换的最大值，称为无功功率。例1:将一0.1H的线圈接到f=50Hz，U=10V的正弦交流电源的电流多大？若U不变，改变f=5000Hz，电流多大？解:iuL+_电流与电压的变化率成正比。1.电流与电压的关系则：三.电容电路uiC+_设：)90sin(2o+=tIw

令：U=IXC，其中：

XC=1/C称容抗

单位：欧姆（Ω）iuiu波形图:结论：u

滞后

i

90

°uiC+_用相量表示：用相量图表示：UIu、i同频率则:

容抗（Ω）定义：所以电容C具有隔直通交的作用XC直流：XC，电容C视为开路交流：f2.功率关系(1)瞬时功率uiC+_由uiou,ip>0充电p<0放电p>0p<0(2)平均功率ＰC是非耗能元件结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。(3)无功功率Q单位：乏（var）为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设则：例2:电容器C=0.5μF，外加交流电压U=10V，φ=30°，ω=106rad/s，求i。uiC+_（1）相量图法：先画相量图，

分别求I、φ。解:30°例2:电容器C=0.5μF，外加交流电压U=10V，φ=30°，ω=106rad/s，求i。uiC+_（2）复数(相量)法：解:单一参数交流电路中的基本关系小结(w、kw)

(var、kvar)

相量式相量图功率瞬时式电路图RLC(var、kvar)

一、电流、电压的关系2.4RLC串联交流电路分析方法：（1）相量图法u+_+_+_+_RLCi（1）用相量图法分析：先画出参考相量（设）u+_+_+_+_RLCi（设）电压三角形阻抗：电压与电流的相位差：阻抗三角形阻抗：电压三角形电压与电流的相位差：阻抗三角形阻抗：当

时，，u

超前i

－－电路呈电感性当时，

，u

、i同相－－电路呈电阻性当

时，，u

落后i

－－电路呈电容性则设（参考相量）（2）用复数解析法分析：u+_+_+_+_RLCi二、RLC串联交流电路的功率u+_+_+_+_RLCi由：(1)瞬时功率其中称功率因数u+_+_+_+_RLCi设：(2)平均功率Ｐu+_+_+_+_RLCi设：(3)无功功率Qu+_+_+_+_RLCi(4)视在功率S单位：伏安(VA）有些电器设备的容量是不能用有功功率来表示的，如发电机和变压器。因为其所带负载的功率因数是未知的，所以用视在功率来表示容量。它表示最大可能输出的功率。把电压有效值和电流有效值的乘积，叫做视在功率。u+_+_+_+_RLCi(4)视在功率S阻抗三角形电压三角形功率三角形除以I乘以I1.R-L串联电路R-L-C串联交流电路中的特例2.R-C串联电路u+_++__RLiu+_+_+_RCiR-L串联电路相量式表示阻抗角,电压超前电流的相位角设:u+_++__RLi向量图UULUR|Z|XLRSQP电压三角形阻抗三角形功率三角形cos称为功率因数电压三角形、阻抗三角形功率三角形2R-C串联电路中电压电流的相量图以I为参考相量IURUCU有效值关系:<0u+_+_+_RCi例1：解：u+_+_+_+_RLCi解：u+_+_+_+_RLCi例2：解：u+_++__RLi|Z|XLR一、阻抗的串联电路2.5阻抗的串联并联和混联iZ1Z2+_+_+_Z1Z2+_+_+_二、阻抗的并联电路iZ1Z2+_Z1Z2+_三、阻抗的混联电路Z2Z3Z1ab+_+_Z2Z3Z1ab+_+_无功功率：(var、kvar)视在功率：(VA、kVA)(w、kw)有功功率：功率计算公式：+_例2：解：u+_R1XLXCiR2i1i2u+_R1XLXCiR2i1i2u+_R1XLXCiR2i1i2例3：解：u+_R1X2XCR2i2i3X1i1cbau+_R1X2XCR2i2i3X1i1cba解：u+_R1X2XCR2i2i3X1i1cba例4:已知：I1=10A、 UAB=100V，求：A、U

的读数解:利用复数进行运算A读数为10安即：设：为参考相量，AAB

C25UC1例4:已知：I1=10A、 UAB=100V，求：A、U

的读数AAB

C25UC1解:U读数为141伏当电路的功率因数较低时，有两个不良后果：COSI当U、P

一定时，P=PR=UICOS2.6功率因数的提高（1）电源设备的容量不能充分利用。（2）增加输电线路功率损耗。工业上规定：0.85--0.9造成功率因数低的原因：

大多数用电设备是感性负载，造成负载与电源之间无功功率徒劳无益的往返交换。提高功率因数的原则：

必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压U和负载的有功功率P不变。并联电容C提高功率因数的方法:_u+_++_RLi并联电容值的计算

设原电路的功率因数为cosRL，要求补偿到cos须并联多大电容？（设U、P、为已知）iCiRLC_u+_++_RLi并联电容前：并联电容后：iCiRLC_u+_++_RLi并联电容前：并联电容后：呈电容性。呈电感性问题与讨论

功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况:功率因素补偿问题（一）呈电阻性结论：在角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。感性（较小）容性（较大）C

较大功率因数补偿成感性好，还是容性好？

一般情况下很难做到完全补偿（即：）过补偿欠补偿谐振（resonance）是正弦交流电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象。

谐振的定义:

在正弦交流稳态下，当含LC的一端口网络输入端的电压、电流同相时，则称该网络处于谐振状态（resonancestate）。+-含LC网络2.8交流电路中的谐振RjL+_一、谐振条件谐振角频率（resonantangularfrequency）谐振频率（resonantfrequency）2.8.1串联谐振(电压谐振,

SeriesResonance

)RLC串联电路发生谐振的条件：1.L,C

不变，改变电源频率f（角频率w）

2.电源频率f

（角频率w）不变，改变L或C）二、RLC串联电路谐振时的特点w0|Z|w0R2.总阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。3.电压U一定时，电流I达到最大值

I0=U/R。R+_+++___4.电源电压等于电阻电压当w0L=1/(w0C)>>R时，UL=UC>>