第5章系统的稳定性

机械工程控制基础第五章系统的稳定性一月23§5-1系统稳定的条件一.稳定的概念和定义一个系统能否在实际中应用，首要条件是保证系统稳定。稳定性：是指系统在使它偏离平衡状态的扰动消除之后，系统能够以足够的精度逐渐恢复到原来的状态，则系统是稳定的，或具有稳定性。以上定义只适用于线性定常系统。稳定性是系统去掉扰动之后，自身的一种恢复能力，是系统的一种固有属性。单摆系统稳定倒摆系统不稳定结论：1)系统是否稳定，取决于系统本身（结构和参数），与输入无关。2)不稳定现象的存在是由于反馈作用。3)稳定性是指自由响应的收敛性。系统自由振荡输出的三种情况由系统的初始状态所引起的响应，若随时间的推移逐渐衰减并趋向于零，系统能恢复原来平衡状态，则称系统稳定。对于线性系统，小范围稳定一定意味着大范围稳定，当然此时系统必须工作在其线性范围内。稳定程度临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。

a)稳定b)临界稳定c)不稳定若系统不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，则称该系统是大范围稳定的；否则系统就是小范围稳定的。

处于临界稳定，或接近临界稳定状态的稳定系统，由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具备一定的稳定裕量，以保证其在实际工作时处于稳定状态。

经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。系统的传递函数设系统的传递函数的分母等于零，即可得系统的特征方程：二.系统稳定性的条件反馈控制系统式（5－2）2、稳定的条件（P83～84）假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：系统（渐近）稳定。则系统（渐近）不稳定。则系统（渐近）临界稳定。设线性控制系统的闭环传递函数为闭环系统的特征方程为特征方程式的根就是系统闭环传递函数的极点。

系统稳定的充分必要条件：稳定系统的特征方程根必须全部具有负实部。或者：系统传递函数的极点全部位于[S]复平面的左半部。

系统稳定，则闭环系统的极点全部分布在s平面的左半平面；

系统不稳定，至少有一个极点分布在s平面的右半平面；

系统临界稳定，在s平面上的右半平面无极点，至少有一个极点在虚轴上。(注：临界稳定从工程角度来看属于不稳定，称为工程意义上的不稳定。

)1.直接计算或间接得知系统特征方程式（5－2）的根。2.确定保证式（5－2）的根具有负实部的系统参数区域应用第一种类型方法有二：1）直接对系统特征方程求解2）根轨迹法应用第二种类型方法：1）劳斯—胡尔维茨稳定性判据2）奈奎斯特判据确定系统稳定性的方法有两种类型：§5-2劳斯—胡尔维茨稳定性判据一.胡尔维茨稳定判据系统的特征方程（5～2）可写成：

(5-3)系统稳定的充要条件：1）式（5～3）的各项系数全部为正值，即ai>0（i>0，1，2，…n）2）由各项系数组成的胡尔维茨n阶行列式中各阶子行列式都大于零。含义：1.各项系数符号相同（即同号）；2.各项系数均不等于0（即不缺项）优点：无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。这是一种代数判据，依据根与系统的关系来判断根的分布。胡尔维茨n阶行列式将系统特征方程的各系数排成如下行列式：(1)特征方程式的各项系数均大于零，即ai>0(2)胡尔维茨行列式中，主行列式及其对角线上各子行列式均具有正值。

例1系统的特征方程为：试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。解：①由特征方程知各项系数为：均为正值，满足判据的必要条件ai>0，

②检验第二个条件，由于，不满足胡尔维茨行列式全部为正的条件，系统不稳定，可不必再行计算。※特征方程阶次低（n≼4）时，条件如下：（1）n=2:（2）n=3:（3）n＝4：系统阶次越高，利用胡尔维茨判据时，计算行列式的工作量越大。高阶的系统，可采用劳斯判据判别系统的稳定性。步骤如下：(1)列出系统的特征方程：

其中，各项系数均为实数。(2)按系统的特征方程式列写劳斯表二.劳斯判据劳斯表将系统的特征方程的系数分成奇、偶两组，排成两行，作为劳斯表的表头。…...Routh判据：第一列各元素an,an-1,b1,c1,….符号改变次数等于具有正实部的特征根数目。若第一列各元素符号不同，则系统不稳定。劳斯表①若第一列各数为正数，系统稳定；②若第一列各数有负数，系统不稳定，第一列中数值符号的改变次数即等于系统特征方程含有正实部根的数目。若劳斯表中某一行第一个数为0，其余不全为0，这时可用一个很小的正数ε来代替这个0。二.劳斯判据第一列中，从1到-30，符号改变一次，从-30到12，符号改变一次，所以系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。例3：系统的特征方程为：试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：①由特征方程知各项系数为

②因为0<ε<1,则3-(3/ε)<0,表中第一列变号两次，故系统有两个正根，是不稳定的。若劳斯表中某一行第一个数为0，其余不全为0，这时可用一个很小的正数ε来代替这个0。小结控制系统实用的首要条件是系统必须稳定。系统在一定的干扰作用下，偏离了稳定的平衡状态，在干扰消除后，能以足够的精度逐渐恢复到原来的状态的能力。它是系统固有的特性，与初始条件及输入无关。系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的根全部在s复平面的左半平面。如果有根在右半平面，系统不稳定，如果有根在虚轴上，系统处于临界稳定状态（振荡），如果有根在原点上，系统偏离平衡点，也不稳定。不必求解系统的特征方程，通过对特征方程的系数进行分析来判断系统的稳定性的方法。劳斯稳定判据适用于四阶以上的高阶系统，而胡尔维茨稳定判据则对于低阶系统较为方便。§5-3奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定判据：使用频率特性来判断系统稳定性的方法。不必求解闭环特征根，只要根据开环频率特性就可以确定系统的稳定性，同时还可以得知系统的相对稳定性以及改善系统稳定的途径。这一判据在控制工程上应用广泛。1、幅角原理

幅角原理：s按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即顺时针包围原点N次。即有：N=Z-P，其中Z:Ls内的F(s)的零点数，

P:Ls内的F(s)的极点数。-11A[s]jw§5-3Nyquist稳定判据一、幅角原理(0,-j)A’jvu[F(s)]CEDFHGBLsH’G’F’D’E’C’B’A’jvu[F(s)]H’G’F’D’E’C’B’LFA[s]jwCEDFHGBLs改变Ls的形状，可以作出新的映射围线。再考察LF上向量幅角的变化。jw[s]CEDFHGBLs-2-3-1Aujv[F(s)]H’D’E’C’F’B’G’A’LF[s]jwCEDHGLs-2-3-1AjvH’D’C’G’A’uE’[F(s)]LF[s]jwp1p2z2z3p3z1LSjvu[F(s)]LF[s]jwp1p2z2z3p3z1LSjvu[F(s)]LF2、开、闭环零极点与F(s)的关系G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)结论：系统稳定的充要条件是Gb(s)在右半平面没有极点，也就是F(s)在右半平面没有零点。[s]jwLs[F(s)]LFjvu[GH]LF3、Nyquist稳定判据奈奎斯特稳定判据

Z=P-2NZ:闭环系统位于S平面的右半平面极点个数；P:开环传递函数G(s)H(s)位于S平面的右半平面极点个数；N:当w由0→+∞时，系统开环幅相曲线包围（-1,j0）点的圈数，逆时针包围为正，顺时针包围为负。

如果Z为零，闭环系统稳定，否则系统不稳定。注：如果从-0+变化时，判据为：Z=P-N。特别地，若开环传递函数在S右半平面无极点时，即开环稳定时(P=0)，当从0变化时：如果Nyquist曲线不包围临界点(-1,j0)，则系统稳定。如果Nyquist曲线包围临界点(-1,j0)，则系统不稳定。如果系统的Nyquist曲线经过(-1,j0)点，则系统处于临界稳定状态。4、Nyquist稳定判别步骤(1)根据开环传递函数，确定P；(2)作G(jw)H(jw)的Nyquist图，确定N；(3)运用判据Z=P-N，确定Z；(从-0+)二、奈氏判据应用举例1开环传递函数不含积分环节已知开环传递函数为判断系统稳定性。解：画Nyquist图(示意图)(1)特殊点(2)趋势单调递减单调递减由由由矢端轨迹（Nyquist图)负频部分(与正频对称)Nyquist判据(已知N,P求Z)P=0(由Gk(s)表达式)N＝0(由Nyquist图)因为Z＝

P－N,所以Z=0，故系统稳定Gk(s)二、奈氏判据应用举例P93:

K增大，不利于系统的稳定性，但有利于稳态误差的减小，为了兼顾精度和稳定性，需要在系统中加补偿环节。对于最小相位的开环传递函数，K>0时，只有三阶或以上的闭环系统才可能不稳定。二、奈氏判据应用举例2.开环传递函数含积分环节(有S＝0极点）此时需对开环幅相曲线作辅助曲线。辅助曲线作法：从奈氏曲线的起始端(w=0+)处，逆时针补画V90o、半径为无穷大的圆与实轴相交。其中V为开环传递函数中含有积分环节的个数。在确定奈氏曲线包围(-1，j0)点的次数与方向时，应将所做辅助线(常用虚线表示)与实际线连续起来看，整个曲线的旋转方向仍按W增大的方向。（P94例5－8）经过以上处理后，原奈氏判据仍可使用。

对于最小相位系统，其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。

=0

=0

=0+ReImI型系统

=0

=Re0

=0+ImII型系统

=0

=Re0

=0+ImIII型系统

对于非最小相位系统，辅助线的起始点则由其含有的不稳定环节的个数决定。偶数个时，起于正实轴，奇数个时起于负实轴。例

一个单位反馈系统，开环传递函数为

试用Nyquist判据判定系统的稳定性。（P95例5－9）解

系统的开环幅频曲线如图所示。

从Nyquist曲线上看到，曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈，

即N=-1，而开环传递函数在s右半平面的极点数P=0，因此闭环特征方程正实部根的个数故系统不稳定。

Z=P-2N=2例5-9:已知某单位负反馈系统的开环传递函数为，试确定使系统产生持续等幅振荡的K值，并求振荡频率。解：使系统产生持续振荡，即系统临界稳定，开环频率特性曲线过点(-1,j0)。则:有：所以：k=8，w=2

为计算圈数方便，可通过开环幅相曲线在（-1,j0）左侧穿越的次数来获取N：负穿越（N-）：开环幅相曲线顺时针(即曲线由下而上)穿越（-1,j0）左侧的负实轴，记一次负穿越；正穿越（N+）：开环幅相曲线逆时针(即曲线由上而下)穿越（-1,j0）左侧的负实轴，记一次正穿越；奈氏判据可写成：当W从0→∞时，若开环频率特性曲线正穿越的次数减去负穿越的次数等于P/2时，则系统是稳定。(P为开环右极点个数)，即：N=N+-N-=P/2三、穿越的概念也即穿过(-1,j0)右侧时不称之为穿越。例：a点、b点：

正穿越；

c点:

负穿越;

(2-1)=1=p/2.闭环系统稳定。例：

K很小，负穿越一次（不稳定）

K较大，负、正穿越各一次（稳定）

K更大，正穿越一次、负穿越二次（不稳定）

已知开环乃氏图，判断其闭环系统的稳定性四、Bode判据Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率，记为ωc。Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率，记为ωg。Bode图上的稳定性判据可定义为：一个反馈控制系统,其闭环特征方程正实部根的个数为Z，可以根据开环传递函数S右半平面极点的个数P和开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相频曲线与-1800线的正负穿越之差N=N+-N-来确定,即

:若Z=0，则闭环系统稳定；,则闭环系统不稳定。Z为闭环特征方程正实部根的个数例：如图所示的四种开环Bode曲线，试用Bode稳定性判据,判断系统的稳定性。已知P=0，在L(ω)＞0的范围内，闭环系统稳定。已知P=1，在L(ω)＞0时

相频曲线有一次从负到正穿越-π线

闭环系统稳定。若对数相频特性一开始就由-1800向下，则算负半次穿越；若对数相频特性一开始就由-1800向上，则算正半次穿越。已知P=2,在L(ω)＞0的范围内,闭环系统稳定

五、延时系统稳定性的判别(图5-16所示系统的特征方程)当G1(s)e-τs=-1系统为临界稳定状态，则有：§5-4稳定性裕量根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工作，刚好满足稳定性条件是不够的，还必须留有余地。因为一个虽然稳定，但一经扰动就会不稳定的系统是不能投入实际使用的。稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度。它包括相位裕度(量)和幅值裕度(量)。在讨论稳定裕量问题之前，首先要假定开环系统是稳定的，或者说系统是最小相位系统，也就是说，开环传递函数在右半s平面没有极点和零点，否则讨论稳定裕量问题是没有意义的。一、相位裕量和幅值裕量系统的相对稳定性从Nyquist稳定判据可推知：若P＝0的闭环系统稳定，且当Nyquist轨迹离点(-1，j0)越远，则其闭环系统的稳定性越高；开环Nyquist轨迹离点(-1，j0)越近，则其闭环系统的稳定性越低。这便是通常所说的系统的相对稳定性，它通过Gk(jw)对点(-1，j0)的靠近程度来表征，其定量表示为相位裕度γ和幅值裕度Kg。1.相角裕量截止频率c

：开环幅相曲线上，幅值为1的频率称为截止频率。即|G(jwc)H(jwc)|=1。相位裕量

：定义为π加上Nyquist曲线上幅值为1点的相角，=180+(c)物理意义：若系统截止频率c处的相位之后再增加，系统处于临界稳定。

稳定系统的奈氏曲线

不稳定系统的奈氏曲线

ReIm[GH]ReIm[GH]由于故在Bode图中，相角裕度表现为：L(ω)=0dB处的相角Φ(ωc)与-180度水平线之间的角度差。ReIm[GH]00ReIm[GH]稳定系统不稳定系统2.幅值裕量Kg

或h相角交界频率g：开环幅相曲线上，相角为-180o点的频率称为相角交界频率。即argG(jwg)H(jwg)=-180o。幅值裕量Kg

：开环幅相曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕量，记为： 物理意义：若系统开环增益增大到原来的Kg倍，系统处于临界稳定。••••

稳定系统的奈氏曲线

不稳定系统的奈氏曲线

ReIm[GH]00ReIm[GH]稳定系统不稳定系统相角交界频率g：开环幅相曲线上，相角为-180o点的频率称为相角交界频率。即argG(jwg)H(jwg)=-180o。物理意义：若系统开环增益增大到原来的Kg倍，系统处于临界稳定。ReIm[GH]00ReIm[GH]稳定系统不稳定系统相角裕量幅值裕量为满足动态性能的要求，相角裕量在300～600

幅值裕量在5～15dB控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。只用增益裕度或相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。注：以分贝值表示。系统稳定系统不稳定系统稳定系统不稳定二、判断(最小相位)系统稳定的又一方法或（P100例5－11）k=5和k=20判断系统的稳定性，求相角裕量和幅值裕量？(1)低频段:ω＝1k=5L(1)=20lg5=14dB-20dB/dec

k=20L(1)=20lg20=26dB-20dB/dec(2)转折频率：ω1＝1－20dB/decω2＝10－20dB/dec[例]

14dB26dB3.16k=5时-40ωc1114dB0dB66012.60计算相角裕量：求穿越0dB线的ωc和Φ(ωc)由：有：k=20时-40ωc2126dB0dB77.4024.10求穿越－1800的ωg取ωg＝3.2计算幅值裕量：系统稳定系统不稳定一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说稳定只能是近似的，忽略了一些小的时间滞后，如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统也可能是不稳定的。

1对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当减少多少。一阶或二阶系统的增益裕度为多少？说明：2对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响。三、

二阶系统频域与时域的关系二阶系统开环频域指标与动态性能指标的关系二阶系统开环频率特性为

开环幅频特性：开环相频特性：解得二阶系统的相位裕度为：

在ω=ωc

时，A(ωc)=1(P101，式5-19)(P101，式5-20)典型二阶系统相位裕度γ与阻尼比ζ关系曲张(P101，图5-18)对于典型二阶系统，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示为

γ＝ζ/100可见，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。γζ由图可知：要求，相当于ξ=0.28～0.6γ与σ%都只是阻尼比ξ的函数。γ

增加时σ%减小。★相位裕度γ可反映时域中超调量σ%的大小，是频域中的平稳性指标。通常为使二阶系统在阶跃函数作用下引起的过程不至于振荡得太厉害，以及调节时间不致太长

补充：相位裕度γ与超调量σ%的关系稳定性分析小结：开环稳定，闭环不一定是稳定的，反之开环不稳定闭环有可能是稳定的。对于最小相位的开环传递函数，并且开环增益大于零时，则只有三阶或三阶以上的闭环系统才可能不稳定。由于在系统分析、计算、实验、制造及工作环境等存在误差或发生不可预测的变化，因此为保证系统能稳定可靠地工作，应有一定的稳定储备。稳定储备用相角裕量和幅值裕量来进行定量表示。相位裕量和幅值裕量应同时进行考虑，其中一项达到要求并不能说明系统的稳定储备就满足了。§5-5根轨迹简介根轨迹即根的轨迹。这里指闭环系统特征方程式的根（系统的闭环极点）在根平面（s平面、复平面）上的轨迹。

“轨迹”：指当系统参数的变化带来系统闭环极点的变化，其变化的过程、趋势形成的轨迹。当参数确定时，在轨迹图上对应的一组点。一、根轨迹当K从0→∞时，用解析的方法可以求出的全部闭环特征根。做出闭环特征根在[s]平面上移动的轨迹，就是系统

从0→∞变化时的根轨迹。某系统开环传递函数：闭环传递函数：特征方程闭环极点（1）k：0→∞时轨迹均在[s]平面的左半部，系统稳定；（2）0<k<0.5时，特征根为负实数根，系统为过阻尼状态，阶跃响应非周期衰减；（3）k=0.5时，系统处于临界阻尼状态，响应无振荡；（4）k>0.5时，闭环特征根为共轭复根，系统处于欠阻尼状态，响应有振荡，且越大极点距实轴越远，振荡愈剧烈。上述分析与时域分析的结论完全相同。严格的定义：系统闭环极点在[s]平面上随系统参数变化的轨迹图形称为系统的根轨迹图。K=0，s1=0,s2=-2;k=0.5,s1=-1,s2=-1k=1,s1=-1+js2=-1-jk=∞，s1=-1+j∞s2=-1-j∞σjw0[s]21-1-2K=0-1-2K=1K=1K=2.5K=0.5K→∞K=0×K→∞K=2.5×根轨迹作图根轨迹图表示了K变化时闭环极点所有可能的分布情况。需要指出的是，

绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量，但实际中最常用的是系统的开环增益。根轨迹作图的思路：依据系统的开环与闭环传递函数的确定关系，由开环的零、极点来寻找闭环极点的轨迹。系统闭环特征方程为：或所以根轨迹方程根轨迹方程实际上是一个向量方程，即：幅值条件方程相角条件方程二、根轨迹作图法则其中：K*是系统根轨迹增益，与开环增益K成正比；Zj是开环传递函数零点；Pj是开环传递函数极点。二、绘制根轨迹的基本法则2)根轨迹的对称性

开环极点、零点或闭环极点都是实数或者成对出现的共轭复数，它们在s平面上分布对称于实轴，所以根轨迹对称于实轴。根据根轨迹的对称性，只需要作出上半s平面的根轨迹，然后利用对称关系，即可画出下半s平面的根轨迹。1)根轨迹的分支数根轨迹在s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n

。因为n阶特征方程有n个特征根，n个特征根随K变化时必然有n条根轨迹。3)根轨迹的起始点和终止点

根轨迹起于系统开环极点，终止于系统开环零点。如果开环零点数m小于开环极点数n，则有(n-m)条根轨迹趋向于无穷远。4)实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和为奇数。

5)根轨迹的渐近线根轨迹有(n-m)条渐近线，但对称于实轴。渐近线与实轴相交点的坐标：渐近线与正实轴的夹角为：其中：n为开环极点数，m为开环零点数。

6)根轨迹的起始角和终止角起始角：

开环根轨迹在离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，也称出射角

终止角：

开环根轨迹在进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，也称入射角

7)分离点坐标根轨迹上的分离点：当有两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点。

分离点的坐标可由幅角条件试探求出；也可用对