计算机组成原理No4数据的表示和运算-4

计算机组成原理PrinciplesofComputerComposition2第二部分数据的表示和运算

2.1数制与编码

2.2定点数表示和运算

2.3浮点数表示和运算

2.4算术逻辑单元ALU32.3浮点数表示和运算2.3.1

浮点数的表示

1、浮点数的表示格式

2、IEEE754标准

2.3.2

浮点数的加/减运算

42.3浮点数表示和运算2.3.1

浮点数的表示N=S×rj浮点数的一般形式S

尾数j

阶码r

基数（基值）计算机中r

取2、4、8、16等当r=2N=11.0101=0.110101×210=1.10101×21=1101.01×2-10

=0.00110101×2100

规格化数二进制表示计算机中S

小数、可正可负j

整数、可正可负52.3浮点数表示和运算1.浮点数的表示形式jf

j1

j2

jm

Sf

S1S2

Sn

……j

阶码S

尾数阶符数符阶码的数值部分尾数的数值部分Sf

代表浮点数的符号n

其位数反映浮点数的精度m

其位数反映浮点数的表示范围jf和m

共同表示小数点的实际位置62.3浮点数表示和运算2.浮点数的表示范围–2(2m–1)×(1–2–n)–2–(2m–1)×2–n2(2m–1)×(1–2–n)2–(2m–1)×2–n最小负数最大负数最大正数最小正数负数区正数区下溢0上溢上溢–215

×(1–2-10)

–2-15

×2-10

2-15

×2-10

215

×(1–2-10)

设m=4

n=10上溢阶码>最大阶玛下溢阶码<最小阶码按机器零处理72.3浮点数表示和运算当浮点数阶码大于最大阶码时，称为“上溢”，此时机器停止运算，进行中断溢出处理；当浮点数阶码小于最小阶码时，称为“下溢”，此时“溢出”的数绝对值很小，通常将尾数各位强置为零，按机器零处理，此时机器可以继续运行82.3浮点数表示和运算练习：设机器数字长为24位，欲表示±3万的十进制数，试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取1位外，阶码、尾数各取几位？满足最大精度可取m=4，n=18…215×0.×××……××15位m=4、5、615

位二进制数可反映±3万之间的十进制数∴解：215

=32768214

=16384∵92.3浮点数表示和运算3.浮点数的规格化形式为了提高浮点数的精度，其尾数必须为规格化数。如果不是规格化数，就要通过修改阶码并同时左右移尾数的办法，使其变成规格化数。将非规格化数转换成规格化数的过程叫做规格化。对于基数不同的浮点数，因其规格化数的形式不同，规格化过程也不同。

当基数为2时，尾数最高位为1的数为规格化数。规格化时，尾数左移一位，阶码减1，（这种规格化叫做向左规格化，简称左规）；尾数右移一位，阶码加1（这种规格化叫做向右规格化，简称右规）。对于原码尾数来说，使最高数字位为1，如果不是1且不是全0，就要移动尾数知道最高位为1，阶码相应变化；对于补码尾数，正数尾数最高位为1，负数最高位必须为0，才是规格化数。102.3浮点数表示和运算尾数为原码表示时，无论正负应满足1/2<|d|<1

即：小数点后的第一位数一定要为1。正数的尾数应为0.1x….x负数的尾数应为1.1x….x尾数用补码表示时，小数最高位应与数符符号位相反。正数应满足1/2≦d<1，即0.1x….x负数应满足-1/2>d≥-1，即1.0x….xr=2尾数最高位为1r=4尾数最高2位不全为0r=8尾数最高3位不全为0基数不同，浮点数的规格化形式不同112.3浮点数表示和运算4.浮点数的规格化r=2左规尾数左移1位，阶码减1右规尾数右移1位，阶码加1r=4左规尾数左移2位，阶码减1右规尾数右移2位，阶码加1r=8左规尾数左移3位，阶码减1右规尾数右移3位，阶码加1基数r

越大，可表示的浮点数的范围越大基数r

越大，浮点数的精度降低122.3浮点数表示和运算5、IEEE754标准现代计算机，浮点数一般采用美国电气和电子工程师协会制定的IEEE754标准。S

阶码（含阶符）尾数数符小数点位置尾数为规格化表示，非“0”的有效位最高位为“1”（隐含）短实数长实数临时实数符号位S

阶码尾数总位数18233211152641156480132.3浮点数表示和运算1985年IEEE（InstituteofElectricalandElectronicsEngineers）提出了IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE754标准）。该标准规定基数为2，阶码E用移码表示，尾数M用原码表示，根据二进制的规格化方法，最高数字位总是1，该标准将这个1缺省存储，使得尾数表示范围比实际存储的多一位。

IEEE754三种浮点数的格式参数：142.3浮点数表示和运算

将0.5写成IEEE754单精度浮点表示形式。-0.5换成二进制并写成标准形式：-0.5（10进制）=-0.1（2进制）=-1.0×2-1（2进制，-1是指数），这里s=1，M为全0，E-127=-1，E=126（10进制）=01111110（2进制），则存储形式为：

101111110000

00000000000000000000=BF000000H152.3浮点数表示和运算162.3浮点数表示和运算将十进制114.25转换成十六进制的IEEE754单精度数代码。114.25化为二进制为1110010.01写成浮点格式：1.11001001×2110根据IEEE754规则，符号1位，阶码8位移码，尾数23位，所以：符号位：0；阶码：110+1111111=10000101（6+127=133）尾数：11001001000000000000000所以：0+10000101+1100100100000000000000001000010111001001000000000000000=42E48000H42E48000172.3浮点数表示和运算2.3.2

浮点数的加/减运算1、浮点加减运算x=Sx·2jxy=Sy·2jy五个基本步骤对阶尾数加减规格化（左规，右规）舍入（截去、0舍1入、冯诺依曼舍入）检查溢出182.3浮点数表示和运算1.对阶(1)求阶差(2)对阶原则Δj=jx

–jy=jx=jy

已对齐jx＞

jy

jx＜

jy

x

向y

看齐y

向x

看齐x

向y

看齐y

向x

看齐小阶向大阶看齐Sx1,Sy1,Sx1,Sy1,=0＞0＜0

jx–1jy+1jx+1jy–12.尾数求和将对阶后的两个尾数按丁点加减运算进行19例如x=0.1101

×

201

y=(–0.1010)

×

211求x

+

y解：[x]补

=00,01;00.1101[y]补

=00,11;11.01101.对阶[Δj]补

=[jx]补

–[jy]补=00,0111,0111,10阶差为负（–

2）[Sx]补'

=

00.0011[Sy]补=11.011011.1001∴Sx2jx+2∴[x+y]补

=00,11;11.1001②对阶[x]补'=00,11;00.0011++对阶后的[Sx]补'

①求阶差2.尾数求和202.3浮点数表示和运算3.规格化(1)规格化数的定义(2)规格化数的判断r=2≤|S|＜112S＞0真值原码补码反码规格化形式S＜0规格化形式真值原码补码反码0.1×××…0.1×××…0.1×××…0.1×××…原码不论正数、负数，第一数位为1补码符号位和第1数位不同–0.1×××…1.1×××…1.0×××…1.0×××…212.3浮点数表示和运算特例S=–=–0.100012…12∴[–]补不是规格化的数S=–1∴[–1]补是规格化的数[S]原

=1.1000…[S]补

=1.1000…[S]补

=1.0000…222.3浮点数表示和运算(3)左规(4)右规尾数1，阶码减1，直到数符和第一数位不同为止上例[x+y]补

=00,11;11.1001左规后[x+y]补

=00,10;11.0010∴x+y=(–0.1110)×210

当尾数溢出（>1）时，需右规即尾数出现01.×××或10.×××时……尾数1，阶码加123例：x=0.1101×

210

y=0.1011×

201求x

+y（除阶符、数符外，阶码取3位，尾数取6位）

解：[x]补

=00,010;00.110100[y]补

=00,001;00.101100①对阶②尾数求和[Δj]补

=[jx]补

–[jy]补

=00,01011,111100,001阶差为+1∴Sy1,jy+1∴[y]补'=00,010;00.010110[Sx]补

=00.110100[Sy]补'

=00.010110对阶后的[Sy]补'01.001010++尾数溢出需右规24③右规[x

+y]补

=00,010;01.001010[x

+y]补

=00,011;00.100101右规后∴x

+y=0.100101

×

211252.3浮点数表示和运算4.舍入在对阶和右规过