量子力学-薛定谔方程

1量子力学第二章波函数及薛定谔方程22.1波函数及其统计解释3

自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E和动量

都是常量。

根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为

又因为波矢为，因此，自由粒子的υ和k都为常量。得到

一、自由粒子的波函数4υ和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述或将上式代入，得到这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即5二、一般粒子的波函数及其物理意义1当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可以用一个函数来描述这个粒子的特性，称其为粒子的波函数。62物理意义：对实物粒子的波动性有两种解释（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。7能量和动量的关系为，利用得到物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。8（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言，弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。93、概率波粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，应该表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率大小的一个量。

因此，粒子的波函数又称为概率波。10保留经典概念的哪些特征不具有经典概念的哪些特征粒子性有确定的质量、电荷、自旋等没有确定的轨道波动性有干涉、衍射等现象振幅不直接可测由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写在本质上具有统计的特征。11三、波函数的统计诠释

表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。表示点(x,y,z)处的体积元中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件12

四、常数因子不定性设C是一个常数，则和对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。如果则有，等同于13说明：1即使要求波函数是归一化的，它仍有一个位相因子的不确定性（相位不确定性）。例如：常数，则和对粒子在点（x,y,z）附近出现概率的描述是相同的。2有些波函数不能（有限地）归一，如平面波。14五、对波函数的要求1、可积性2、归一化3、单值性，要求单值4、连续性15六、态的叠加原理波的干涉，衍射现象的本质原因是因为它满足叠加原理。微观粒子所显示的波动性表明：波函数也应满足叠加原理。16如果ψ1和ψ2是体系可能的状态，那么Ψ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的可能状态。对于合成的状态：其中就是干涉项。

其中其中就是干涉项。

其中17一般地说，叠加原理可以写成这导致了量子力学中的一个重要概念：对于一个指定的量子体系，如果我们找到了它的“完备的基本状态”，例如，那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。运动的状态是平面波因此，自由电子的任何状态都可以写成：即是各种不同动量的平面波的叠加。

例如：一个自由电子以动量和能量18这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入那么任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成

其中的系数由下式得出：

这个的物理意义是“动量测量几率振幅”。对于一维情形，19

七、动量分布概率设，则表示粒子出现在点附件的概率。设为粒子的动量，那么粒子具有动量的概率如何表示？

平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开20其中，可见，代表中含有平面波的成分，因此，应该代表粒子具有动量的概率。212.2薛定谔方程22一Schrodinger方程量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。这个基本定律在本质上是一个假说。deBroglie波满足的方程是：

而,所以23这可以看做是在经典关系中进行代换可以推广地说：若粒子在外势场中运动，其能量的表达式为24则它的波函数应该满足方程此即单粒子运动的Schrodinger方程(1926)。25二几率守恒定律粒子的空间几率密度是根据Schrodinger方程，26记则而这表示了一种守恒定律。

27因为，对任何体积V，等式右方用Gauss定理，得

是在体积V内发现粒子的总几率，而穿过封闭曲面S向外的总通量。所以是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。几率守恒也就是粒子数守恒。

28三定态Schrodinger方程若与时间无关，则Schrodinger方程可以分离变量求解，29波函数成为

这样的波函数(或者是波函数）称为定态波函数。对比deBroglie波，我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量。所以定态是体系的能量有确定值的状态。在定态中，体系的各种力学性质不随时间而改变。30的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数。所以定态Schrodinger方程也就是能量本征方程。

形如算符作用于波函数=常数乘以这波函数312.3一维运动的一般分析32一、一维势场中粒子能量本征态的一般性质1、定态2、简并

如果系统的能级是分立的，即，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。333、宇称－函数在空间反演下表现出的特性。344、定态薛定格方程－能量本征方程355、束缚态与非束缚态36定理137推论138定理239404142434445462.4一维无限深势阱和方势阱47一、一维无限深方势阱1、势函数如果在，由能量本征方程，有其解为，其中由边界条件和，有和，波函数为482、能量量子化由，和得到，这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的。称为体系的能量本征值，与对应的波函数称为能量本征函数。49将波函数进行归一化：即令，得到归一化波函数为3、归一化波函数50最低能量经典粒子，可以有一维无限深方势阱中的粒子，由测不准关系，得到因此，粒子能量

4、讨论51在，有

个节点，其上

说明粒子在这些节点上出现的概率为零。对于经典粒子来说，它在内任何一点都有可能出现。52二、有限深对称方势阱设

粒子能量条件在阱内能量本征方程解53在阱外能量本征方程解，说明粒子不会出现在，说明的粒子也有到达势阱外的可能。542.5量子隧道效应55一、方势垒的反射与透射在，能量本征方程解粒子流密度反射系数

透射系数56在，能量本征方程解57解代数方程，得到势垒贯穿隧穿效应入射波反射波透射波58电子的势垒贯穿

12510当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观59二、δ势的反射与透射设质量为m的粒子(E>0)从左射入δ势垒60616263讨论642.6线性谐振子65

1、能量本征方程简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为例如，双原子分子中两原子之间的势能

一维谐振子的能量本征方程

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2、能量本征方程的解能量本征方程变为当

时，，有，其解能量本征方程的解可表示为其中，为待求函数，代入能量本征方程，有其解为亦即厄密多项式。当

时，要求

得到

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3、能量本征值因为

同时故讨论(1)能级是均匀分布的；