集对分析思想渊源、理论核心与关键问题

集对分析（SetPairAnalysis简记为SPA）（联系数学，ConnectionMathematics）

的思想渊源、理论核心与关键问题

赵克勤1思想渊源2理论核心3关键问题40多年前的思考

集对分析萌发于上世纪60年代我学习恩格斯《自然辩证法》和数学《集合论》时产生的思考。20年前提出集对分析1989年8月，我在内蒙包头召开的全国系统理论与区域规划会议正式提出集对分析，题目是《集对和集对分析－一个新的概念和一种新的系统分析方法》。20年来集对分析得到广泛应用，据在中国知网上检索，应用或引用集对分析联系数学的论文已有1000多篇，其中博士学位论文158篇（关键词用集对分析检索15篇)硕士学位论文455篇（关键词用集对分析检索50篇），被国际权威检索机构EI检索论文10余篇，另有重要会议论文140多篇。发表论文的高校学报120多家，学术期刊250多种，论文作者中有中科院院士与中国工程院院士，《基于集对原理的水文水资源不确定性分析新途径》等10多个课题受到国家自然科学基金主题资助，还有一些课题受到省部级基金资助。2009年10月将在浙江大学召开第9次集对分析学术年会会议主题是集对分析与非传统安全研究，其中包括水安全这个议题，欢迎大家参加和投稿。请登录浙江大学非传统安全与和平发展中心网站：，网上投稿，联系人为余潇枫教授。人们自然会问：什么是集对分析？集对分析为什么能得到广泛应用？集对分析的思想渊源和理论核心是什么？什么是集对分析?就是对2个集合(称为集对)或多个集合之间的关系作同异反不确定性分析。如何开展集对分析——先3步1、分析2个集合的所有关系，2、把得到的全部关系作同异反分类，3、写出2个集合的同异反程度联系数。如何开展集对分析步骤——后3步1、计算和分析联系数（a+bi，a+bi+cj，a+bi+cj+dk……。2、打开i,作不确定性分析。3、把计算分析结果与其它方法的结果作对照。思想渊源1：源自哲学哲学认为：世界是确定性与不确定性的对立统一。集对分析用联系数μ=a+bi及其展开式（μ=a+bi+cj,μ=a+bi+cj+dk…）具体地刻划确定性与不确定性的对立统一。思想渊源2：源自系统科学系统科学认为，世界是系统的，事物以系统的形式存在，。集对分析把事物的确定性关系与不确定性关系看成不确定性系统，把联系数作为这个系统的一种数学模型。

思想渊源3：源自数学集合论集合论是数学的基础，但集合论中存在着矛盾，也称集合论悖论，100多年来，数学家们围绕悖论开展了激烈的争论，其中的一个著名悖论是理发师悖论：理发师悖论（罗素悖论）村上一个理发师贴出服务公告，宣称他为所有不为自己理发的人理发（设这些人组成集合A），那么，理发师自己的头该由谁理发？如果他不为自己理发，那么，理发师属于A；但这样一来，理发师就不能给自己理发了，也就是不能属于A，那么，理发师自己的头究竞该由谁理发？上面这个理发师悖论最早由英国数学家和哲学家罗素（BertrandRussell1872-1970）于1903年发现，所以在数学史上称其为罗素悖论。羊群中也可能围进了狼”

罗素悖论的发现，说明了由德国数学家康托（GeorgCantor,1845-1918）提出的集合论存在着矛盾，这个矛盾是如此的显而易见，在构造一个集合时就存在于这个集合中，震动了当时的数学界，正如著名的法国数学家庞加（HenriPoincare,1854-1912）所坦言，“我们围住了一群羊，然而在羊群中也可能围进了狼”我对罗素悖论的思考我对罗素悖论作了与众多数学家不同的理解，我认为罗素悖论已告诉我们，面对一个研究对象O（objuct）存在着2个映像集：一个是确定的映像集A，另一个是不确定的映像集B，需要把这2个集合联合起来去描述这个对象。顺便在这里给出认识论意义上的集对定义：所谓集对，就是描述同一个客观对象所需要的2个集合。罗素悖论的联系数模型（1）如果用A表示确定集A的基数，用B表示不确定集B的基数，用i表示不确定，且在［－1，1］取值，就得到联系数u＝A+Bi，显然，联系数u＝A+Bi是关于对象集O的两个映射集合的联合函数，是罗素悖论的一个数学模型。又由于u＝A+Bi恰好含有2项，所以也称为是二元联系数，简称联系数罗素悖论的联系数模型（2）假设村上包括理发师在内共有100人，其中不能为自己理发的有99人，确定属于理发师的服务范围（A=99）；加上理发师1人不能确定是否属于理发师的服务范围（B=1），于是得联系数A+Bi=99+1i，这个联系数的集对意义显然是关于“所有不为自己理发的人”这个对象集O的两个映射集合A（确定集）与B（不确定集）的基数之联系和。罗素悖论的联系数模型（3）进一步假设在罗素悖论中，一个人的理发价是1元钱，那么当理发师自己的头由自己理时，共收入99+1i（i＝1）＝100元；当理发师自己的头由别人理时，他的净收入是99+1i（i＝－1）＝98元；由此看出，引进集对的概念和二元联系数u＝A＋Bi，使罗素悖论迎刃而解、而且解得自然、解得畅快。思想渊源4：i源自物理学“测不准原理”历史上，德国物理学家海森堡于1927年提出“测不准原理”：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测不准原理”反映了微观粒子运动的基本规律，是量子力学的一个基本原理，也是现代物理学的一个重要原理。通常，人们把海森堡的“测不准原理”称为“不确定原理”。集对分析联系数中的不确定数i就是基于这个微观层次上的“测不准原理”而引入.微观的相对性事实上，就认知而言，微观纯粹是相对于宏观而言的一个概念。例如在水科学中，江河湖泊是宏观，支流沟坑是微观；支流沟坑是宏观，水珠水滴是微观；肉眼见到的水珠水滴是宏观，空气中的水分子是微观；大量水分子聚集在一起是宏观，少量水分子和单个分子是微观；年度降水量是宏观，某时刻降水量是微观；高空云层是宏观，低层水汽是微观；如此等等，这就意味着当把一事物（例如水）在宏观层次上的表现与微观层次上的表现相联系作全局性考虑时，不可避免地存在不确定性。这就是“全局不确定原理”。思想渊源5：对非数学式子的思考（1）例1，树上有10只鸟，如果有人打下1只，问还剩几只？10－1＝0？鸟问题的联系数模型树上有10只鸟，鸟与鸟之间有内在联系，但这里的联系由哪些关系组成不能确定，为此记1只鸟与其它9只鸟的联系为1＋9i，10只鸟减去1只鸟的数学模型就是10－（1＋9i）当i＝1时，10－（1＋9i）＝0（没有鸟）当10只鸟中存在母子鸟、幼鸟、老鸟、病鸟等情况，一下子想飞也飞不了时，可以让i取［0，1］区间的其它值，如还剩3只，这时i＝0.65思想渊源5：对非数学式子的思考（2）“3个皮鞋匠，胜过诸葛亮”；“(1＋1＋1)>3”“三个和尚没水喝“(1＋1＋1)<3”表示后者，试问，这2个式子是数学式子吗？显然不是，甚至可以说是错误的式子，但同样是3个人，合作得好是“(1＋1＋1)>3”，合作得不好是“(1＋1＋1)<3”，则是司空见惯的事实，既然是事实，就可以给出相对应的数学模型，问题是，根据客观实际给出的群体效能数学模型如何与(1＋1＋1)＝3的经典数学协调一致？这个模型后面再讲。思想渊源6：源自对自然的感悟人为什么生有两只眼睛？因为两只眼睛比1只眼睛能更清楚地看清眼前的事物；人为什么生有两只耳朵，就是因为两只耳朵比1只耳朵能更好地聆听远远近近的声音；人为什么生有两条腿，因为两条腿比1条腿更能站得稳，走得快；人为什么生有两只手，因为两只手比1只手更能握得住工具，更能进行复杂的操作；如此等等，人体自身的这些自然之谜，是自然给我们的启示，启示我们在数学的研究中，引进集对这个概念是自然的需要。一来一去应用广泛集对分析来自哲学、系统科学、数学的学习和融合，来自对于自然之谜的感悟，来自对看上去是一些非数学式子深层次的思考，又反过去影响到哲学、系统科学和数学的研究，如实地反映客观事物的确定性与不确定性，让I作为理论研究结果与实际情况不断变化的一个接口，才使得集对分析方法具有全局性、系统性和辩证性，集对分析研究结论具有客观性、完整性和科学性；从而使得集对分析从提出到现在的20年中，应用范围不断扩大，层次不断加深，水平不断提高。其实，从方法论看，这一来一去，亦集对也。集对分析也称联系数学狭义的联系数学是指以联系数为运算和分析单位的数学，中义的联系数学还包括把概率联系数化、模糊隶属度和模糊数联系数化、区间数联系化、复数联系数化、数轴联系数化，并把他们统一起来的数学；广义的联系数学还包括数学各分支联系的同异反、数学与其它学科（物理学、经济学、生命科学、管理科学）联系的同异反及其数学分析。联系科学广义的联系数学在一定意义上超出数学范畴，据此，我在SPA1998杭州会议上提出将集对分析发展成联系科学的设想，这个设想在会后以《联系科学的定义、框架、应用与意义》为题发表在《大自然探索》1999年第3期上，所谓联系科学，是专门研究事物联系、可变与转化的学科。又是10年过去，2008年第6期的《自然辩证法通訉》（中科院研究生院主办）又刊出了我的《自然辩证法可以称为联系科学吗》一文，说明了学术界对联系科学这一提法的关注。关于联系的2个命题命题1：联系是关系之和。命题2：联系是创新之源.一般来说，联系处于宏观层次，关系处于微观层次。从科学发展的大趋势看，联系科学是在继经典分析科学（数学分析、物理分析、结构分析…..）与20世纪的系统科学之后，提出的又一个新学科，是处于分析学科和系统科学之间的一门中介科学，因而在现代科学发展史上将有重大意义，也有广阔的应用前景。水是一个集对

首先，水是一个集对，一个特殊的集对。因为从水的分子式H2O看，水分子由2个氢原子和1个氧原子组成，如果把2个氢原子作成一个集合，1个氧原子作成另一个集合，那么，水分子就是一个地地道道、真真实实的集对。水是一种特殊的联系介质其次，水也是一种特殊的联系纽带，一种特殊的联系介质。水把天、地、生联系起来，把宏观与微观联系起来，把东、西、南、北、中联系起来，把古今中外联系起来，把物质与能量联系起来，把物质的固态、气态、液态联系起来，把有（形）与无（形）联系起来，把有机与无机联系起来，把简单与复杂联系起来，把确定性与不确定性联系起来，把利与害联系起来，，把柔情如水与冷若冰霜联系起来，把科学与艺术联系起来；总之，水把自然与社会联系起来，水是联结自然和社会的一座桥樑。水与联系科学，“大江东去、浪涛尽”；“飞流直下三千尺，疑似银河落九天”；“问渠那得清如许，为有源头活水来”，以及“水能载舟、亦能覆舟”等等千古名句，无不与水有关，如此等等的种种联系，表明水科学实实在在是关于联系的一门科学，一门大科学，研究水科学的专家中不泛有大科学家，借此机会，向显在的和潜在的水科学研究专家致敬，向水科学研究中带领博士研究生系统地应用集对分析并获得国家自然科学基金资助、且做出显著成果的四川大学丁晶教授、金菊良教授、王文圣教授致敬，向这次论坛的主要组织者左其亭教授致敬，向在座的各位专家学者致敬。理论核心（1）

集对分析理论包括了不确定性理论、同异反系统理论和成对理论（联系论），核心理论是不确定性理论，理论的核心是确定性与不确定性的对立统一，严格说是确定性与不确定性的对立同一及其中介过渡及其数学表达和数学处理。理论核心（2）

具体是把2个集合或多个集合的确定性关系与不确定性关系作为一个确定——不确定系统来处理。对其中的不确定性“客观承认、系统描述、定量刻划、具体分析”。从多方面（同异反3方面或更多）、多层次（宇观、宏观，中观、微观，）多角度、多维度、多方法研究确定性关系与不确定性关系的联系与变化。借助联系数进行确定性与不确定性关系的计算和分析。二元联系数u＝A＋Bi其中A、B为非负实数，i在［－1，1］区间视不同情况取值。令A＋B＝N，a=A/N,b=B/N,μ=u/N,得归一化二元联系数：μ=a+bi二元联系数也称同异型联系数，这时的A（a）称为联系数的同部，Bi（bi）称为联系数的异部。二元联系数也称确定——不确定联系数，这时的A（a）为确定性（关系的）测度，Bi（bi）为不确定性（关系的）测度。A（a）、Bi（bi）统称联系数的联系分量,二元联系数因恰好有2个联系分量而得名。二元联系数依据的基本原理（3）----成对原理（2）在二元联系数中，A(a)与B(b)是确定与不确定的一对，A(a)、B(b)与i是宏观与微对的一对，，u＝A＋Bi的线性与i在［－1，1］区间取值的非线性也是一对；i在［－1，1］区间的取值通常也成对考虑。在虚实型问题中，则A(a)与Bi(bi)是实与虚的一对；在全局决策中，A(a)与A＋Bi（a+bi）是局部与全局的一对；在模糊问题中，是显模糊与潜模糊的一对，在相关分析中，是假相关与真相关的一对，是对2个集合的空间位置作一次刻划与二次刻划的一对，见下图。2.2二元联系数依据的基本原理（3）其中黄色是对2个集合关系作一次刻划时2个集合的交集，蓝色是2个集合作移动后出现更大交集且去除第初次相交集后的部份。由此可见，二元联系数是对所论2个集合作2次刻划、2次分析的一个结果。二元联系数与不确定量（1）数学认为，数是量的描述。据此可问，二元联系数A+Bi描述的量是什么量？为此，我在《集对分析及其初步应用》一书中给出了不确定量的概念，不确定量是在宏观上确定而在微观上不确定的量。不确定量与常量、变量的关系见下面这张表。2.3二元联系数与不确定量（2）表1项目宏观微观例子常量确定确定园周率变量不确定确定自由落体速度不确定量确定不确定粒子的动量超不确定量不确定不确定随机不确定量数学据此分为常量数学、变量数学、不确定量数学3大块。初等算术、初等几何属于常量数学，迪卡尔的解析几何与牛顿-莱布尼兹的微积分构筑的是变量数学的大厦，集对分析联系数学则是属于处理不确定量的数学。二元联系数与不确定量（3）二元联系数所在的空间也称为确定－－不确定空间，或集对分析（SPA）2维空间。SPA空间的特征之一是该空间中至少有1维座标具有不确定性，是关于不确定性测度的1维座标：由此可知该空间中的点、线、面、体都具有一定的不确定性。二元联系数的应用（3）－群体效能模型（1）

3个人合在一起，相互之间的关系可能会产生正效应（相互激励、相互支持），也有可能产生负效应（互不信任，相互拆台），到底是什么效应既难以说清，也会随机变化，总之是不确定，为此记1个人在3人群体中实际发挥的效能是1+2i，3人群体的综合效能是3+6i；合作得好时，取i=1，这时3+6i=9，相当于“3个皮鞋匠，抵个诸葛亮”；合作得最不好的情况时，取i=-1，这时3+6i=-3，相当于“3个和尚没水喝”。i＝0时，3+6i＝3，从而把基于联系数的群体效能模型与经典数学完全协调一致。至于是否可以说，经典数学因此将成为联系数学的一个特例，尚需作进一步研究。但留给我们的想象空间无限广阔，而且充满诱惑和挑战。二元联系数的应用（3）－群体效能模型（2）例如可以推广到由n个人组成的群体效能计算，这时单个个体实际产生的效能是1+（n-1）i，n个人组成的群体智能是n[1+（n-1）i]=n+(n2-n)i=n+n2i-ni，当i=1时，n+n2i-ni=n2（个智能单位），这说明在最好状况下，群体效能是个体效能之和的二次方幂（放大），说明了理想情况下群体的效能大大大于个体的效能。当i=-1时，n+n2i-ni=2n-n2，对该式求关于n的导数并令其等于零，得2-2n=0,解得n=1，这又从一个侧面说明了群体效能在最坏情况下，群体效能不如个体效能，这个数学模型在一定的意义上解释了改革开放以来，我国社会中个体户大量涌现这一社会现象。2.5二元联系数的应用（3）－群体效能模型的推广（1）例如，把群体效能模型推广为3因素模型，可以试用于水体污染及其改善状况Y的建模，例如假设Y是由政策因素(X1)、流域地经济因素（X2）和历史因素（X3）3大因素综合的结果，记为Y＝f(X1,X2,X3),该模型中的任意2个因素的关系都含有部份不确定关系，协调得好时，该水体污染状况得以改善；协调得不好时，该水体污染状况将恶化。计算分析任意2个因素的不确定关系时，需要把不确定因素尽可能分解成若干个可以具体分析的小的不确定因素（小I），以便于确定这些小I的正负号和数值，必要时，再把这些小I再分成若干个小小I。二元联系数的应用（3）－群体效能模型的推广（2）又如，从宏观看，我国大江大河的特大洪水有可能也是受天文因素、大气环流因素，流域地理因素3大因素决定，也可以建立类似的SPA模型。当还需考虑其它因素时，可以建立4因素模型，5因素模型等等。SPA模型的一大特点是可以把机理已经清楚的部份作为一个函数F(D)，把机理不清楚、关系不确定、结构不知道、信息不完全的部份作为另一个关于I的函数f(I)，再用“联系和”“⊕”把F(D)与f(I)联在一起，写成公式就是：M（SPA）＝F(D)＋f(I)，或者写成：M（SPA）＝F(D)＋f(U)i二元联系数的应用（4）－概率的联系数化由于概率P是一个在0-1之间取值的实数，因而可以联系数化成P+（1-P）i，这是可行性；另一方面，把概率P联系数化成联系数P+（1-P）i也是必要的，因为概率是从宏观层次上对随机不确定性的数学描述，所以显示出随机不确定性的确定性；但在微观层次上，随机不确定性不变其本质上的不确定性，因此，当我们需要同时从宏观与微观两个层次上考虑随机不确定性的程度、作用和影响时，把概率P联系数化成P+（1-P）i就显得完全必要。二元联系数的应用（4）－概率的联系数化（例1）在经典概率论中，有一个“小概率原理”，该原理是说，概率非常小的事件在某次观察中几乎是不可能发生的，比如一个人买2元钱彩票得500万元大奖就是一个小概率事件，其概率大约是0.00000001，按经典概率论，因为0.00000001接近于零，几乎不可能发生；但把这个概率表示成联系数的形式后得到的是0.00000001+0.99999999i，后面这个0.99999999i说明这个小概率事件在一次观察中不发生的不确定性非常之大，这个例子一方面说明可能性不等于不确定性，另一方面可以在一定程度上解释为什么人们明知中大奖的可能性非常小，而仍然踊跃购买彩票这种社会现象。二元联系数的应用（4）－概率的联系数化（例2）通常而言，一辆机动车在行驶时出事故是一个小概率事件，但实际上，每一个机动车驾驶员的每次出车都必须把安全放在第1位。用联系数的语言来说，就是要高度重视“小概率”所附带的那个“大补数”所具有的不确定性，它随时都有可能把出事故的“小概率”转化为1。二元联系数的应用（4）－概率的联系数化（例3）有文献认为，特大型水库存在诱发地震的可能性；又有文献认为，特大型水库诱发地震的可能性非常小，如果发生也是一个小概率事件；但按照集对分析的联系数理论，即使是小概率事件，仍存在突发的可能性（小概率补数中I的突发性取值），因而做好特大型水库正常和异常情况的各项数据监控依然十分重要，用联系数的语言来说，就是要高度重视“小概率”所附带的那个“大补数”所具有的不确定性，它有可能通过突发取某个值，使“小概率”转化为1；显然，对于一个科研工作者，需要对“小概率”事件有这样的辩证认识和科学素養，从这个例子也看出，应用集对分析理论，在某种意义上也是在应用辩证法，只不过这时的辩证法已隐含在集对分析联系数中的I罢了。二元联系数的应用（4）－概率联系数化的重要意义从信息利用角度看，概率联系数化无非是捡起了经典概率论在概率表述上所丢弃的那个补数中所含有的随机不确定信息。利用二元联系数检回这部份信息，是为概率论重新奠基的一项基础工作，应用二元联系数使概率所携带的随机不确定信息完整化、系统化和客观化，其结果将为概率论及其相关学科的研究与应用开辟出新的天地；鉴于水科学研究中存在大量的随机现象，概率论的应用相当普遍，如果把应用过程中的概率联系数化，在不增加观察和试验成本的条件下，获得新的信息，使研究结果完整化、系统化和客观化，是水科学研究工作者在水科学研究中创新的一条有效路子，有待我们深入探索和实践。二元联系数的应用（5）－模糊隶属度的联系数化（1）设A(u)是U的一个模糊子集，对A(u)的隶属函数(u)有1≥(u)≥0。按集对论，这里的(u)是对A(u)的一个确定的描述，还应同时有一个不确定的描述[1—(u)]i,i(以下同)，而[1—(u)]正好是(u)的补数；于是，对A(u)的一个完整的描述应当是(u)+[1—(u)]i，容易看出，[1—(u)]i是(u)所携带的另一部份“模糊”信息，但按模糊集理论，这一部份“模糊”信息是作为“不模糊”信息对待的，至少是忽略不计，因而存在信处丢失。二元联系数的应用（5）－模糊隶属度的联系数化（2）在模糊集理论中，认为(u)=0.5时，(u)的模糊程度最大，因为最“模棱两可”，但没能在数学上说明这个“最大模糊程度”。按集对论，模糊隶属度(u)=0.5的联系数表述为0.5+0.5i,当i在[-1，1]变动时，0.5+0.5i在[0，1]变动，其模糊程度为1-0=1，从而从数学意义上说明了这个“最大模糊程度”，此时作出的模糊推理结果，其不确定性最大。二元联系数的应用（5）－模糊隶属度联系数化的意义（3）把模糊隶属度转换成一个联系数的工作称为模糊隶属度的联系数化。从信息利用的角度看，这一工作的意义无非是捡起了模糊集理论在模糊隶属度表述上所丢弃的那个补数中所含有的模糊不确定信息。利用二元联系数检回这部份信息，是为模糊集理论重新奠基的一项基础工作，应用二元联系数使模糊隶属度所携带的模糊不确定信息完整化、系统化和客观化，其结果将为模糊集的理论与应用研究开辟出新的天地。二元联系数的应用（5）－模糊隶属度和模糊数联系数化的意义（4）鉴于水科学研究中存在大量的模糊现象，模糊数学的应用已相当常见，如果把应用过程中的模糊隶属度和模糊数联系数化，在不增加观察和试验成本的条件下，获得新的信息，使研究结果完整化、系统化和客观化，是水科学研究工作者在水科学研究中处理模糊信息的一条新路子，有待我们去深入探索和实践。二元联系数的应用（6）－相关系数的联系数化（1）相关分析是研究两个变量与关系的一种常用数理统计方法，通过计算这两个变量的相关系数∈[-1,1]，再根据的大小来判定与是正相关（>1），负相关（<1）还是不相关（=0）。但传统数理统计理论没有提出也没有回答相关系数的补数1-的含义是什么？集对分析提出并回答了这个问题，认为补数1-在一般情况下具有不确定性，所以应把相关系数联系数化为+（1-）i，（i∈[-1,1]）同时对i的取值展开分析，从而充分地利用了补数（1-）i所带有的有价值的信息。二元联系数的应用（6）－相关系数的联系数化（2）例如当R（X，Y）=0.4时，联系数化后0.4+（1-0.4）i，当i=-1时，R（X，Y）的值为—0.2，说明X与Y的关系有可能是负相关关系。依次类推，可知只有当R（X，Y）=0.8时，才能保证与是正相关关系，因为即使其补数0.2取负值冲销0.8，仍有0.6程度的正相关。这或许就是人们在日常生活和工作中通常认为“逢8才发”的一个理由。二元联系数的应用（6）－相关系数的联系数化（3）鉴于水科学研究中经常要研究两个变量的相关关系并计算两变量的相关系数，如果把研究中得到两变量相关系数联系数化，将使我们在不增加观察和试验成本的条件下，获得新的信息，使我们进入到两变量系列数据的内部去窥看这两个变量的内部结构，使相关分析建立在微观分析的基础上，从而使研究结果更为可靠和客观，在这方面，金菊良教授等人已做了出色的工作，取得了令人鼓舞的成果。而广东中山大学的谢平博士则直接把联系数的a看成是正相关系数、c看成是负相关系数，b看成是正负相关不确定系数，研究蒸发问题。二元联系数的应用（7）－区间数的联系数化设U=[C，D]是一个正区间数，则按区间数定义有C≥0，D>C,把此区间数改写成联系数得u=C+(D-C)i,要注意的是，这时的i∊[0，1]。从而把区间数运算转化成联系数的运算。后者的运算比前者要方便得多。已有学者把区间数多属性决策改成基于联系数的多属性决策，减少决策计算量。二元联系数的应用（9）－样本统计量的联系数解释在统计学中，样本X1,X2,X3,…Xn的统计量有平均数Xˉ和标准差S两个参数，也称为样本特征数，一般就用Xˉ＋S表示一组观测值X1,X2,X3,…Xn其中的标准差S表示观测值围绕平均数的波动，也可以理解为是关于平均数的不确定度，因而可以用二元联系数表示一组观测值X1,X2,X3,…Xn其中A＝Xˉ，B＝S，I∊[－1，1].二元联系数的应用（10）－测量不确定度的表示与计算（1）对测量数据作不确定度评定的要求，最早由国际标准化组织（ISO）1993年提出。为与国际接轨，中国国家质量技术监督局于1999年颂布了《测量不确定度评定与表示》（JJF1059-1999）。但这两个标准所要求的都是对测量数据作出统计结果时要给出结果的不确定度表示，并不要求对每个测量数据都有不确定度表示。但实际测量情况是每个测量数据都因测量仪器、测量环境、测量过程等因素的影响存在不确定度，测量结果的不确定度是每个测量数据不确定度的总体反映；从这一认识出发，已有学者给出了计及每个测量数据不确定度的测量结果不确定度计算新算法；其实质性工作，就是把每个测量数据都用二元联系数A+Bi表示，其中的A是读数，Bi是A的不确定度，在此基础上再通过统计处理N个二元联系数得到测量结果。二元联系数的应用（10）－测量不确定度的表示与计算（2）鉴于水科学研究中存在大量的测量工作，测量数据的读取和记录随时随地都在发生，如果在读取和记录测量数据的过程中，把测量仪器、仪表的不确定度和其它系统的和非系统的不确定度客观地用联系数的形式记录下来，还测量数据的本来面目，必将大大提高原始数据的可信性和科学性，也为测量数据的后继处理奠定坚实的基础，是一种低成本甚至是零成本的水科学研究创新之路，有待我们去实践和探索。由二元联系数导出同异反三元联系数历史地看，集对分析最先给出的是同异反联系数A+Bi+cj,其中A、B、C是非负实数，j=-1，i∊[-1，1]；当C=0时，就得出二元联系数A+Bi，另一方面，二元联系数A+Bi也可以看作是当A、B、C∊[0，1]且A+B+C=1时A+Bi+cj的一个等价表达式，因而当A+B<1时立即由A+Bi导出A+Bi+cj；还有一种情况是通过对二元联系数中i的分析导出同异反联系数。由三元联系数导出多元联系数根据集对分析理论，同异反联系数A+Bi+cj,中的每个联系分量都可以作出进一步的分解，例如分解成：（A1＋A2＋A3）+（B1i1+B2i2＋B3i3）+（c1j1+c2j2+c3j3）等等由此得到所谓的多元联系数。多元联系数（1）－标普型u=A⊕B1i1⊕B2i2⊕B3i3

…⊕Bnin⊕Cj

或者改写成u=A⊕Bi⊕Cj⊕Dk⊕El⊕Fm⊕…⊕Xy其中的（⊕）”为“联系和”。理论上，多元联系数中的联系分量个数n可以趋向无穷大,使离散型多元联系数逼近成连续型联系数μ=∫a

+i∫b+j∫c,，从而实现对事物的无穷多等级、多集合的描述。多元联系数（1）－应用可用于对某一河流从源头开始到入海口的全程多等级描述。据此可以建立整条河流的联系数模型。可用于某一河流全年丰水期、中水期、平水期、枯水期的总体描述。可用于某一地区全地区水污染状态多等级的总体描述和分析如此等等。多元联系数（2）－a+bi型u=(

a+bi

)

⊕(a1+b1i)i1⊕(a2+b2i)i2⊕(a3+b3i)i3

…⊕n(an+bni)in⊕(an+1+bn+1i)j其特点是每个联系分量都是a+bi这种形式的联系数，从形式上表明各个联系分量都带有一定程度的不确定性；也可以把bi看成是对a的不确定度的表示。多元联系数（3）－a+bi+cj型u=(

a+bi+cj

)

⊕(a1+b1i+c1j)i1⊕(a2+b2i+c2j)i2⊕(a3+b3i+c3j)i3

…⊕n(an+bni+cnj)in⊕(an+1+bn+1i+cn+1j)j其特点是每个联系分量都是a+bi+cj这种形式的联系数，从形式上表明各个联系分量都是同异反的对立统一。其中的bi则看成是同与反的中介过渡。多元联系数（4）－a+bi+cj+…型u=(

a+bi+cj

+…)

⊕(a1+b1i+c1j+…)i1⊕(a2+b2i+c2j+…)i2⊕(a3+b3i+c3j+…)i3

…⊕n(an+bni+cnj+…)in⊕(an+1+bn+1i+cn+1j+…)j其特点是每个联系分量都是联系分量个数在4个或多于4个联系数，这样一种形式的多元联系数，也称为多重多元联系数，用于在每个节点上都需要作多层次展开分析的场合。多元联系数（5）－一般式u=f(μ)其中：μ=a+bi+cjμ=a+biμ=a+cjμ=bi+cjμ=a即多元联系数本身又是联系数的函数多元联系数的伴随函数（1）－态势函数根据联系数的定义，联系数也可以看作是一种等级函数，联系数中的各个联系分量处在不同的等级上，由此反映出联系分量的“质”和量，这些处在不同等级上的联系分量在总体上反映出联系数所刻划那个事物所处的状态和趋势，一个联系数所含有的联系分量个数越多，等级划分就越细，其态势函数矩阵（记为Ψ（u）或Ψ（μ））中的状态个数就越多，矩阵就越“庬大”。二元联系数的态势函数（2）

Ψ(μ=a+bi)只有3种状态a>ba=ba<b三元联系数的态势函数（3）

Ψ(μ=a+bi+cj)1a＞c,a＞b,b＞c(同势，同势1级，强同势，表示系统以趋同趋势为主)2a＞ca＞b,b＝c(同势，同势2级，稍强同势，系统趋同趋势稍强)3a＞ca＞b,b＜c(同势，同势3级，弱同势，系统趋同趋势已弱)4a＞ca＝b,b＞c5a＞ca＜b,b＞c6a＝ca＞b,b＜c7a＝ca＝b,b＝c8a＝ca＜b,b＞c9a＜ca＞b,b＜c(反势)10a＜ca＝b,b＜c11a＜ca＜bb＞c12a＜ca＜bb＝c13a＜ca＜bb＜c(反势5级强反势)多元联系数的态势函数（4）

4元联系数的Ψ(μ=a+bi+cj+dk)有81个等级5元联系数的Ψ(μ=a+bi+cj+dk+el)有243个等级…….n元联系数的Ψ有3n个等级，因不便例出，请参考相关文献。理论上说，利用联系数处理数据，可以达到相当高的精度多元联系数的伴随函数（2）－偏联系数（1）由于多元联系数是一种等级函数，为了计算由低等级发展提高到相邻高等级的变化率，引进偏联系数的概念，从发展的角度看，可以假定当前状态的“同”原本也处在“异”的层次上，是从相对不确定的“异”发展而来，为此可以用a/(a+b)表示这种发展的程度，并记为∂a，即有∂a=a/(a+b)；同理可以假定当前状态的“异”原本也处在“反”的层次上，是从相对确定的“反”发展而来，为此可以用b/(b+c)表示这种发展的程度，并记为∂b,即有∂b=b/(b+c),令∂µ=∂a+i∂b，i按比例取值原理取i=∂a/（∂a+∂b），称这里的∂µ为联系数a+bi+cj的偏正联系数；多元联系数的伴随函数（2）－偏联系数（2）反之，我们也可以假定当前状态的“异”原本也处在“同”的层次上，是从相对确定的“同”负向发展而来，可以用b/(a+b)表示这种负向发展的程度，并记为∂--a，即有∂-a-=b/(a+b)；同理可以假定当前状态的“反”原本也处在“异”的层次上，是从相对不确定的“异”负向发展而来，为此可以用c/(b+c)表示这种负向发展的程度，并记为∂-b,即有∂-b=c/(b+c),于是得联系数a+bi+cj的偏负联系数∂-µ=∂-a+i∂-b，i按“比例取值原理”取i=∂-a/（∂-a+∂-b），j=-1、联系数a+bi+cj当前状态的实际发展趋势是偏正向发展趋势与向负向发展趋势相互矛盾的综合结果，为此计算偏正联系数∂µ与偏负联系数∂-µ的差，不妨记为e=∂µ-∂-µ=(∂a+i∂b)-(∂-a+i∂b)、当e>0时是正向发展趋势，多元联系数的伴随函数（2）－偏联系数（3）当e<0时是负向发展趋势，当e=0时是临界趋势；例如一个年级的学生成绩，好的与比较好的占35%，中间状态与刚合格的占55%，较差与差的占10%，采用联系数表示得µ=0.35+0.55i+0.10j，这个联系数的偏正联系数是∂µ=0.39+0.85i,取i=0.39/（0.39+0.85）=0.31,得∂µ=0.65;偏负联系数是∂-µ=0.61+0.15i,取i=0.61/（0.61+0.15）=0.80,

得∂-µ=0.73;所以e=∂µ-∂-µ=(∂a+i∂b)-(∂-a+i∂b)==0.65-0.73=-0.08。由于-0.080，所以该年级的学生成绩存在负向发展（下降）趋势。这与直观观察一致，因为直观上看，该年级学生成绩中好与较好部份仅占总数的1/3稍强，接近2/3的学生成绩处在中间与较差的状态；当然，这里我们是把处于中间状态的这部份学生看成是相对不确定的部份来展开分析的。多元联系数的伴随函数（2）－偏联系数（4）由此可见，偏联系数揭示出联系数所刻划的不确定性系统在一定状态下朝某个方向的发展趋势，是不确定性系统的一个重要参数，基于联系数的同异反状态分析和基于偏联系数的趋势分析简称为基于集对分析的“状态-趋势分析”，已在国民体质提高趋势分析、购买体育彩票心理分析、招投标决策、多属性决策等方面得到应用.联系数的运算－以二元联系数为例（1）加法运算加法运算若u1=A1+B1i,u2=A2+B2i,则u=u1+u2=(A1+A2)+(B1+B2)i

令A1+A2=A，B1+B2=B，则由(2)式得u=A+Bi

若令N=A+B,并用N除(3)式两边再令μ=u/N，a=A/N，b=B/N，就得到归一化的二元联系数μ=a+bi

由(3)式易知两个二元联系数的和满足交换律:也就是：u1+u2=u2+u1

三个或更多个二元联系数相加的运算还满足加法结合律:(u1+u3)+u2=(u2+u3)+u1=u3+(u2+u1)联系数的运算－以二元联系数为例（2）减法运算如果已知u=A+Bi是二元联系数u1与u2的和与其中的一个二元联系数u1=A1+B1i，要求另一个二元联系数u2，这时有减法运算：u2=u-u1=(A-A1)+(B-B1)i=A2+B2i

其中，A-A1=A2，B-B1=B2

联系数的运算－以二元联系数为例（3）乘法运算设二元联系数u1=A1+B1i，u2=A2+A2i，u1与u2的乘积为u：则

u=u1u2=A1A2+A1B2i+A2B1i+B1iB2i

引进(i=ii=iii=iiii=……)后，可简化上式得u=u1u2=A1A2+(A1B2+A2B1+B1B2)i

上式也称为二元联系数乘法公式。二元联系数的平方公式为：（A+Bi）2=A2+(2AB+B2)i

联系数的运算－以二元联系数为例（4）平方运算二元联系数的平方公式为：（A+Bi）2=A2+(2AB+B2)i

联系数的运算－以二元联系数为例（5）除法运算两个二元联系数的除法公式：（A+Bi）/（A1+B1i）=A/A1+(B-AB1/A1)i/(A1+B1)联系数的运算－以二元联系数为例（6）几何运算（1）由于二元联系数u=A+Bi与一对实数A、B相对应,所以在不计及i的值时，可以用直角平面座标系中从原点O指向U的向量表示。

联系数的运算－以二元联系数为例（5）几何运算（2）利用直角坐标系与坐标系的数学关系式x=rcosθ，y=rsinθ,得二元联系数u=A+Bi的三角函数表示式：u=r（cosθ+isinθ）从而得到用三角函数表示的两个二元联系数的乘法运算公式：u1u2=γ1(cosθ1+isinθ1)γ2(cosθ2+isinθ2)=γ1γ2{cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)}从而有：︳u1u2︳=︳u1︳︳u2︳Arg(u1u2)=Argu1+Argu2

联系数的运算－以二元联系数为例（5）几何运算（3）也就是说：两个用