GCT数学排列组合二项式定理和概率

第7章排列、组合、二项式定理和概率一、两个原理二、排列三、组合五、二项式定理四、排列、组合的应用题六、概率（★古典概型）★（加法公式）★（乘法公式）第7章排列、组合、二项式定理和概率一、两个原理1.

分类计数原理（加法原理）若完成一件事有类办法。在第一类办法中有种不同的方法；在第二类办法中有种不同的方法；在第类办法中有种不同的方法。则完成这件事共有：种不同的方法。2.

分步计数原理（乘法原理）若完成一件事需要分成个步骤。做第一步有种不同的方法；做第二步有种不同的方法；做第步有种不同的方法。则完成这件事共有：种不同的方法。例

城城；汽车3

火车2

飞机1

村村村例

4人报名参加3项比赛，每人报且只报一项，则不同的报法有（）种。A.B.C.D.解按人分步B二、排列1.

排列：从个不同的元素中任取个（）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。特别：当时，称为全排列。即个不同元素全部取出的排列。2.

排列数从个不同的元素中取出个（）元素的所有排列的个数。记作：或例例

由2，5，7，8可组成多少个没有重复数字的三位数？

解（若可以有重复数字的三位数？）例

5人排成一排照相，共有多少种排法？

解指…….★

3.

排列数公式特别：例补

由可组成多少个8位数的电话号码？

多少个没有重复数字的8位数的电话号码？

▽三、组合1.

组合：从个不同的元素中任取个（）元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。2.

组合数从个不同的元素中取出个（）元素的所有组合的个数。记作：例指…….●由定义知

3.

组合数公式例

4.

组合数的性质①②（常当

时用）例

▽C（）.补解A.B.C.D.原式等差数列前n项和公式（）.补解原式四、排列、组合的应用题（大致分为三类）1.无限制条件的排列或组合题直接根据有关公式求。2.有限制条件的排列或组合题直接计算法间接计算法直接计算法：把符合限制条件的排列（或组合）数直接计算出来。间接计算法：先算出无限制条件的所有排列（或组合）数，再从中减去全部不符合条件的排列（或组合）数。3.排列、组合综合题通常先考虑组合，后考虑排列。例

5名学生和2位教师排成一排照相，两位教师不在两端，且要相邻的排法共有（）种。DA.B.C.D.解直接计算法分步法一法二先安排老师先安排学生补

6人排成一排照相，其中甲、乙两人不能相邻

的排法有（）种。

解法一（间接计算）法二（直接计算）分步先安排其余4人，再安排甲、乙。例

5个男生和2个女生站成一排照相。（1）共有多少种排法？（2）男生甲必须站在左端或右端，且2个女生必须相邻，有多少种排法？（3）男生甲必须站在中间，且2个女生必须相邻，有多少种排法？解（3）（2）先安排甲甲先安排两个女生（1）▽例

100件产品中，有3件次品，其余均为合格品，（1）恰有1件次品的取法有多少种？从这100件中任取3件，则：（2）至少有1件次品的取法有多少种？（3）至多有2件次品的取法有多少种？解（3）（2）（1）间接计算间接计算直接计算补

从4名男生和3名女生中挑出3人站成一排，3人中至少有一名男生的排法共有（）种。

A.B.C.D.解C法一（间接计算）法二（直接计算）▽例

将4本不同的书分给3个人，每人至少1本，不同分配方法的种数是（）。BA.B.C.D.解分步由题知，3人中有一人得到2本，其余2人各得1本。先把书分组，再例

把4封不同的信投入3个不同的邮箱，且每个邮箱至少投一封信，共有（）种投法？C解分步A.B.C.D.例

4个不同的小球放入甲、乙、丙、丁4个盒中，恰有一个空盒的放法共有（）种。DA.B.C.D.解甲乙丁丙分步先选一个空盒法二先把球分组，法一分步再把球放入4个盒中。▽五、二项式定理定理对任意，都有：共项上式称为的二项展开式。●展开式的通项：●展开式的二项式系数即当的二项式系数可排成下表：“杨辉三角”①二项式系数中，两端都是1，且中间的系数最大.②二项式系数具有对称性。③相邻两行系数间的关系（除两端的1以外，每个系数都等于它“肩上”的两数之和）。●

二项式系数的性质（令）●

展开式中某项的二项式系数与该项的系数不同。例在的展开式中，第四项的二项式系数为：而第四项的系数为：（第四项为：）第四项r=3B

右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，图中第八行所有中应填数字的和补A.B.C.D.（09年）等于（）.解

求的展开式中的系数。补解展开式的通项为：令，得的系数为：注意：符号问题的展开式的二项式系数之和为64，补则展开式中常数项为（）。DA.B.C.D.解由题知展开式的通项为：令，得展开式中常数项为：注意：二项式系数与第几项系数的区别

已知展开式中所有系数之和等于81，补则展开式中项的系数为（）。DA.B.C.D.解设令，得展开式的通项为：展开式中的系数为：的展开式中，的系数是（）

补难A.B.C.D.B解的系数为：又则的值是（）.

★补A若A.B.C.D.解令，得令得六、古典概率1.

基本概念●

随机现象：某些现象，在个别试验中其结果呈现出不确定性，而在大量重复试验中其结果又具有统计规律性，这些现象称为随机现象。为了研究随机现象，我们所进行的观察或实验，称为试验。●

随机试验：若一个试验具有下列三个特点：①在相同条件下可以重复进行。②每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。知道试验的所有可能结果。则称这一试验为随机试验。记为：随机试验的样本点：随机试验中的每一个基本结果。随机试验的样本空间：随机试验的全体样本点组成的集合。记为：★●

随机事件：随机试验的样本空间的子集。（简称事件）（随机试验中，可能发生也可能不发生的结果）。通常用表示。例抛硬币掷骰子｛出现反面｝｛出现正面｝，｛出现的点数小于3｝例抛掷一枚硬币，观察正面和反面出现的情况。掷一颗骰子，观察出现的点数。基本事件：由一个样本点构成的集合。（或随机试验的每一个基本结果）事件发生：在一次试验中，当且仅当中包含的一个一个样本点出现。●事件的关系及运算设为两事件：“事件与中至少有一个发生”的事件。称为事件与的并（和）.（或事件“或”）。：“事件与同时发生”的事件。称为事件与的交（积）.（或事件“且”）。互斥事件（互不相容事件）：在一次试验中，若与不可能同时发生。例基本事件是两两互斥的。掷骰子｛出现1点｝，例｛出现3点｝则与互斥。对立事件：在一次试验中，若与不可能同时发生，且必有一个发生，则称与互为对立事件。的对立事件记为：事件的概率：2.古典概型若随机试验满足：①基本事件只有有限个。②每一个基本事件的发生是等可能的。（等可能概型）定理在古典概型中，是一个随机事件，则基本事件的总数事件所包含的基本事件的个数其中：则称此试验（试验模型）为古典概型。●

计算常要用排列、组合的知识。例

一袋内有10个大小相同的球，其中有6个白球，

4个黑球。现从中任取2球，求：（2）取出的2球恰好一黑一白的概率；解此题属古典概型（1）取出的2球都是白球的概率；（3）取出的2球中至少有一个黑球的概率。法一（1）（2）（3）法二先不讲！▽例

某市电话号码由8位数字组成，设每位数字可以是从0到9这10个数字中的任意一个，电话号码A由8个不同数字组成的概率是（）。A.B.C.D.解此题属古典概型例

桌上有中文书6本、英文书6本、俄文书3本。从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书C各1本的概率是（）。A.B.C.D.解此题属古典概型例

将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（）CA.B.C.D.解此题属古典概型②“3个空格相连”可看成占一个格子三个空格相连的放法共有6种，有两种理解：①直接数出来▽从这十个数中任取四个数，

补A.B.C.D.B解其和为奇数的概率是（）。（选最接近的一个选项）此题属古典概型1奇3偶2奇2偶3奇1偶4奇4偶若从这十个数中任取3个不同的数，

补A.B.C.D.B则它们能构成公比大于1的等比数列的概率是（）.解此题属古典概型能构成公比大于1的等比数列的3个数只有：四种情况。有长为1cm,2cm，3cm,4cm,5cm,6cm的六根细

补A.B.C.D.D木条，任取其中3根为边能构成一个三角形的概率解此题属古典概型为（）.能构成三角形的3根木条共有如下7种情况：★

3.

互斥事件有一个发生的概率（加法公式）定理若事件与互斥，则有：可推广一般地，推论（常用于：“至少有一个）例

一袋内有10个大小相同的球，其中有6个白球，

4个黑球。现从中任取2球，求：解（3）取出的2球中至少有一个黑球的概率。法二例

在10件产品中，有6件一等品，4件二等品。从中任

取3件，其中至少有一件为二等品的概率是多少？解有两种方法例

在中任取一数，求该数能被2整除或能被5整除的概率。解设｛该数能被2整除｝，则｛该数能被5整除｝（）★

4.

相互独立事件同时发生的概率（乘法公式）定理若事件与相互独立，则有：可推广若一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，则称这两个事件是相互独立。（投篮、射击）定理若事件与相互独立，事件与；事件与；事件与。都相互独立。则：例

甲、乙两人独立射击一目标，各射击一次，已知甲命中概率为0.7，乙命中概率为0.6，试求：（2）恰有一人命中的概率；（1）两人都命中的概率；（3）至少有一人命中的概率。解设｛甲命中｝，｛乙命中｝则由题知，（1）（2）互斥（3）法二法一设｛至少有一人命中｝，则法三例

打印一页文件，甲出错的概率为0.04，乙出错的概率为0.05。从两人打印的文件中各任取一页，C其中恰有一页出错的概率是（）。A.B.C.D.解设｛甲出错｝，｛乙出错｝则由题知，互斥例

有两个独立的报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率分别是0.95和0.92，则在紧急情况D出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是（）.A.B.C.D.