2023年考研数学（三）真题2

〔12〕设均为维列向量，为矩阵，以下选项正确的是假设线性相关，那么线性相关.假设线性相关，那么线性无关.(C)假设线性无关，那么线性相关.(D)假设线性无关，那么线性无关.[A]【分析】此题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记，那么.所以，假设向量组线性相关，那么，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ).〔13〕设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，那么〔Ａ〕.〔Ｂ〕.〔Ｃ〕.〔Ｄ〕.［Ｂ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而，那么有.故应选〔Ｂ〕.〔14〕设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且那么必有(B)(C)(D)[A]【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得，那么，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，那么，即.应选(A).三、解答题：15－23小题，共94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值7分〕设,求(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将作为常量求解，此问中含型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含未定式极限.【详解】(Ⅰ).(Ⅱ)〔通分〕〔16〕〔此题总分值7分〕计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后〞积分较容易，所以〔17〕〔此题总分值10分〕证明：当时，.【分析】利用“参数变易法〞构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】令，那么，且.又，〔〕，故当时，单调减少，即，那么单调增加，于是，即.〔18〕〔此题总分值8分〕在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于〔常数〕.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解】(Ⅰ)设曲线的方程为，那么由题设可得，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得，又，所以.故曲线的方程为.(Ⅱ)与直线〔〕所围成平面图形如右图所示.所以，故.〔19〕〔此题总分值10分〕求幂级数的收敛域及和函数.【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记，那么.所以当时，所给幂级数收敛；当时，所给幂级数发散；当时，所给幂级数为，均收敛，故所给幂级数的收敛域为在内，，而，所以，又，于是.同理，又，所以.故..由于所给幂级数在处都收敛，且在处都连续，所以在成立，即，.

〔20〕〔此题总分值13分〕设4维向量组，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数；用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以为列向量的矩阵为，那么.于是当时，线性相关.当时，显然是一个极大线性无关组，且；当时，，由于此时有三阶非零行列式，所以为极大线性无关组，且.〔21〕〔此题总分值13分〕设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(Ⅰ)求的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得；〔Ⅲ〕求及，其中为3阶单位矩阵.【分析】由矩阵的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵；由可得到和.【详解】(Ⅰ)因为矩阵的各行元素之和均为3，所以，那么由特征值和特征向量的定义知，是矩阵的特征值，是对应的特征向量.对应的全部特征向量为，其中为不为零的常数.又由题设知，即，而且线性无关，所以是矩阵的二重特征值，是其对应的特征向量，对应的全部特征向量为，其中为不全为零的常数.(Ⅱ)因为是实对称矩阵，所以与正交，所以只需将正交.取，.再将单位化，得，令，那么，由是实对称矩阵必可相似对角化，得.〔Ⅲ〕由(Ⅱ)知，所以.，那么.〔22〕〔此题总分值13分〕设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.(Ⅰ)求的概率密度；(Ⅱ)；(Ⅲ).【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】〔=1\*ROMANI〕设的分布函数为，即，那么当时，；当时，.当时，.当，.所以.〔=2\*ROMANII〕，而，，，所以.(Ⅲ).〔23〕〔此题总分值13分〕设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随